Ache a solução do problema de valor inicial 2y′′ − 3y′ + y = 0, y(0) = 2, y′(0) = 1/2. Calcule o seu valor máximo e o ponto onde a função se anula....

O problema de valor inicial dado é uma equação diferencial de segunda ordem homogênea. Para resolvê-la, podemos usar a equação característica: r² - (3/2)r + 1/2 = 0 Resolvendo a equação acima, encontramos as raízes r1 = 1/2 e r2 = 1. Portanto, a solução geral da equação diferencial é: y(t) = c1*e^(t/2) + c2*e^t Para encontrar os valores de c1 e c2, usamos as condições iniciais dadas: y(0) = 2 => c1 + c2 = 2 y'(0) = 1/2 => c1/2 + c2 = 1/2 Resolvendo o sistema acima, encontramos c1 = 3/2 e c2 = 1/2. Portanto, a solução do problema de valor inicial é: y(t) = 3/2*e^(t/2) + 1/2*e^t = -e^t + 3/2*e^(t/2) Para encontrar o valor máximo da função, podemos derivá-la e igualar a zero: y'(t) = -e^t + 3/4*e^(t/2) y'(t) = 0 => -e^t + 3/4*e^(t/2) = 0 Resolvendo a equação acima, encontramos t = ln(9/4). Substituindo esse valor na função y(t), encontramos o valor máximo: y(ln(9/4)) = 9/4 Para encontrar o ponto onde a função se anula, basta igualá-la a zero e resolver para t: y(t) = 0 => -e^t + 3/2*e^(t/2) = 0 e^(t/2) = 2*e^t t = ln 9 Portanto, a função se anula em t = ln 9.