09. (ITA-95) Três pontos de coordenadas, respectivamente, (0, 0), (b, 2b) e (5b, 0), com b > 0, são vértices de um retângulo. As coordenadas do qua...

Para encontrar as coordenadas do quarto vértice do retângulo, podemos utilizar a propriedade de que os lados opostos de um retângulo são iguais em comprimento e paralelos entre si. Assim, podemos calcular a distância entre os pontos (0,0) e (b,2b) utilizando o teorema de Pitágoras: d1 = sqrt((b-0)^2 + (2b-0)^2) = sqrt(5b^2) Da mesma forma, podemos calcular a distância entre os pontos (b,2b) e (5b,0): d2 = sqrt((5b-b)^2 + (0-2b)^2) = 4b Como o retângulo tem lados paralelos aos eixos x e y, a distância entre os pontos (0,0) e (5b,0) é igual a 5b. Assim, temos que a distância entre os pontos (0,0) e o quarto vértice é igual a: d3 = 5b - d1 - d2 = 5b - sqrt(5b^2) - 4b = b - sqrt(5b^2) Para encontrar as coordenadas do quarto vértice, podemos utilizar a equação da reta que passa pelos pontos (0,0) e (b,2b), que é dada por: y = (2b/b) x = 2x Da mesma forma, a equação da reta que passa pelos pontos (5b,0) e o quarto vértice é dada por: y = (-2/b) (x - 5b) = -2x/b + 10 Igualando as duas equações, temos: 2x = -2x/b + 10 4x/b = 10 x = 10b/4 = 5b/2 Substituindo x na equação da reta, temos: y = 2x = 5b Portanto, as coordenadas do quarto vértice são (5b/2, 5b), que corresponde à alternativa E.