17. (IME 2003) Seja uma pirâmide regular de vértice V e base quadrangular ABCD. O lado da base da pirâmide mede L e a aresta lateral L/2. Corta-se ...

Para calcular a área da seção determinada pela interseção do plano com a pirâmide, podemos utilizar a fórmula da área de um trapézio. Primeiro, precisamos encontrar a medida da altura do trapézio. Como o plano é paralelo à reta BD, a altura do trapézio é igual à altura da base menor, que é a distância entre o ponto médio da aresta VC e o ponto A. Como a aresta VC tem comprimento L, o ponto médio tem coordenadas (L/2, L/2, 0). Já o ponto A tem coordenadas (0, 0, L/2). Portanto, a distância entre esses pontos é dada por: d = sqrt[(L/2 - 0)^2 + (L/2 - 0)^2 + (0 - L/2)^2] = sqrt[3/4 L^2] = sqrt(3)/2 L Assim, a altura do trapézio é h = sqrt(3)/2 L. Agora, precisamos encontrar as medidas das bases maior e menor do trapézio. A base maior é a própria base da pirâmide, que tem área L^2. Já a base menor é a interseção do plano com a base da pirâmide, que é um quadrilátero ABCD. Como o plano é paralelo à reta BD e contém o ponto médio da aresta VC, ele divide o quadrilátero em dois triângulos congruentes ABD e ACD. Cada um desses triângulos é retângulo em D e tem catetos L/2 e L/2 - L/4 = L/4. Portanto, a base menor do trapézio tem medida L/2 + L/4 = 3/4 L. A área do trapézio é dada por: A = (B + b) * h / 2 = (L^2 + 3/4 L^2) * sqrt(3)/2 L / 2 = (5/8 sqrt(3)) L^3 Portanto, a área da seção determinada pela interseção do plano com a pirâmide é igual a (5/8 sqrt(3)) L^3.