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caminho mínimo para ir de A a C pela base da pirâmide é 2√3. Calcule a medida do ângulo determinado pela aresta lateral e a base.

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Lista 4_ Pirâmides Triangulares e Quadrangulares

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há 2 anos

Para calcular o ângulo determinado pela aresta lateral e a base, precisamos usar a trigonometria. Sabemos que a tangente do ângulo é igual à razão entre a altura da face lateral e a metade da base da pirâmide. Seja x a medida do ângulo que queremos encontrar. Temos que: tan(x) = altura da face lateral / (1/2 * base da pirâmide) tan(x) = h / (1/2 * 2√3) tan(x) = h / √3 h = tan(x) * √3 A altura da face lateral é igual à raiz quadrada de 3 vezes a medida da aresta da base dividido por 2. Portanto: h = √3 * (2√3) / 2 h = 3/2 * √3 Substituindo na equação da tangente, temos: tan(x) = (3/2 * √3) / √3 tan(x) = 3/2 x = arctan(3/2) x ≈ 56,31° Portanto, o ângulo determinado pela aresta lateral e a base é de aproximadamente 56,31 graus.

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1. (ITA1990) Seja V o vértice de uma pirâmide com base triangular ABC. O segmento AV, de comprimento unitário, é perpendicular à base. Os ângulos das faces laterais, no vértice V, são todos de 45 graus. Deste modo, o volume da pirâmide será igual a:

a) 2/6
b) 2/3
c) 2/2
d) 2/1
e) n.d.a

2. (IME 2012) Uma pirâmide regular triangular apresenta um volume V. Determine o raio da circunferência circunscrita a uma das faces laterais da pirâmide em função de V, sabendo que o ângulo do vértice vale 30º.

3. (UNICAMP2000) Seja P um ponto do espaço eqüidistante dos vértices A, B e C de um triângulo cujos lados medem 8cm, 8cm e 9,6cm. Sendo d(P,A)=10cm, calcule: a) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo ABC; b) a altura do tetraedro, não regular, cujo vértice é o ponto P e cuja base é o triângulo ABC. c) O volume do tetraedro PABC.

4. (Ceará 1992) Seja LMN um triângulo tal que LN 1≤x, MN 1≤x e LM 0

5. (IFT MOSCOU) Uma pirâmide regular triangular é seccionada por um plano que passa por um de seus vértices da base e pelos pontos médios das arestas laterais. Achar a relação entre a superfície lateral da pirâmide e a área da base, sabendo-se que o plano secante é perpendicular a face lateral.

6. A altura de uma pirâmide triangular regular é h. O ângulo diédrico entre as faces laterais é φ. Determine o volume da pirâmide.

7. (IFT MOSCOU) Achar o ângulo diédrico entre as faces laterais de uma pirâmide regular triangular, se o ângulo diédrico formado por uma das faces laterais e a base é igual a α.

8. (FUVEST 2002) A figura adiante representa uma pirâmide de base triangular ABC e vértice V. Sabe-se que ABC e ABV são triângulos eqüiláteros de lado l e que E é o ponto médio do segmento AB. Se a medida do ângulo ∠VEC é 60°, então o volume da pirâmide é:

a) 3√3l³/4
b) 3√3l³/8
c) 3√3l³/12
d) 3√3l³/16
e) 3√3l³/18

10. (IME 1994) Na exploração de uma mina foi feito o corte indicado na figura abaixo. Para calcular o volume do minério extraído do corte, foram medidos: CD = 10√3 dm, ∠ADC = 60°, ∠ADB = 30°. Calcule este volume.

11. (ITA1991) As arestas da base de uma pirâmide triangular regular medem l cm e as faces laterais são triângulos retângulos. O volume desta pirâmide é: a) 3√3l³/6 b) 3√3l³/12 c) 3√3l³/24 d) 3√3l³/32 e) n.d.a.

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caminho mínimo para ir de A a C pela base da pirâmide é 2√3. Calcule a medida do ângulo determinado pela aresta lateral e a base.

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1. (ITA1990) Seja V o vértice de uma pirâmide com base triangular ABC. O segmento AV, de comprimento unitário, é perpendicular à base. Os ângulos das faces laterais, no vértice V, são todos de 45 graus. Deste modo, o volume da pirâmide será igual a:a) 2/6b) 2/3c) 2/2d) 2/1e) n.d.a

2. (IME 2012) Uma pirâmide regular triangular apresenta um volume V. Determine o raio da circunferência circunscrita a uma das faces laterais da pirâmide em função de V, sabendo que o ângulo do vértice vale 30º.

4. (Ceará 1992) Seja LMN um triângulo tal que LN 1≤x, MN 1≤x e LM 0

6. A altura de uma pirâmide triangular regular é h. O ângulo diédrico entre as faces laterais é φ. Determine o volume da pirâmide.

7. (IFT MOSCOU) Achar o ângulo diédrico entre as faces laterais de uma pirâmide regular triangular, se o ângulo diédrico formado por uma das faces laterais e a base é igual a α.

10. (IME 1994) Na exploração de uma mina foi feito o corte indicado na figura abaixo. Para calcular o volume do minério extraído do corte, foram medidos: CD = 10√3 dm, ∠ADC = 60°, ∠ADB = 30°. Calcule este volume.

11. (ITA1991) As arestas da base de uma pirâmide triangular regular medem l cm e as faces laterais são triângulos retângulos. O volume desta pirâmide é: a) 3√3l³/6 b) 3√3l³/12 c) 3√3l³/24 d) 3√3l³/32 e) n.d.a.

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a) 2/6
b) 2/3
c) 2/2
d) 2/1
e) n.d.a