(Ucpel 2021) A reta de equação x y 3 0   intercepta a parábola de equação 2y x 2x 3   nos pontos 1P e 2P . Nestas condições, é correto af...

Para resolver esse problema, precisamos encontrar os pontos de interseção entre a reta e a parábola. Substituindo a equação da reta na equação da parábola, temos: 2y(x-2x+3) = x-y+3 2xy - 4x² + 6y = x - y + 3 2xy + y = 4x² + x + 3 y(2x + 1) = 4x² + x + 3 y = (4x² + x + 3)/(2x + 1) Substituindo essa equação na equação da reta, temos: x((4x² + x + 3)/(2x + 1)) - 3 = y (4x³ + x² + 3x - 3(2x + 1))/(2x + 1) = y (4x³ + x² - 3x - 3)/(2x + 1) = y Agora, podemos igualar essa equação à zero para encontrar os pontos de interseção: 4x³ + x² - 3x - 3 = 0 Podemos usar o método de Newton-Raphson para encontrar uma das raízes dessa equação, que é x = 1. Substituindo esse valor na equação da reta, encontramos que y = 4. Portanto, um dos pontos de interseção é P1(1, 4). Para encontrar o outro ponto de interseção, podemos dividir a equação cúbica por (x-1) e resolver a equação quadrática resultante: (4x³ + x² - 3x - 3)/(x-1) = 4x² + 5x + 3 4x²(x-1) + 9x + 3 = 0 Resolvendo essa equação quadrática, encontramos que x = 2/3 ou x = -3/2. Substituindo esses valores na equação da reta, encontramos que y = -1/3 ou y = -5/2, respectivamente. Portanto, o outro ponto de interseção é P2(2/3, -1/3) ou P2(-3/2, -5/2). Agora, podemos verificar as alternativas: a) A medida do segmento com extremidades em P1 e P2 é de sqrt((2/3 - 1)² + (-1/3 - 4)²) = sqrt(10/9) ≠ 3/2. Portanto, a alternativa a está incorreta. b) O vértice da parábola é V(1, 4), que não é um ponto de interseção com a reta. Portanto, a alternativa b está incorreta. c) O ponto P2 tem coordenadas x = 2/3 e y = -1/3, que não são iguais a x = 2 e y = 4. Portanto, a alternativa c está incorreta. d) Os pontos de interseção são P1(1, 4) e P2(2/3, -1/3) ou P2(-3/2, -5/2). Portanto, a alternativa d está incorreta. e) A distância entre P1 e P2 é sqrt((2/3 - 1)² + (-1/3 - 4)²) = sqrt(10/9) ≠ 2. Portanto, a alternativa e está incorreta. Portanto, nenhuma das alternativas está correta.