45. Seja ( )an uma progressão geométrica cuja soma dos n primeiros termos é Sn n= −3 2 3( ) . Determine o quarto termo dessa progressão.

Para encontrar o quarto termo de uma progressão geométrica, precisamos conhecer pelo menos quatro elementos da sequência. Neste caso, temos a soma dos três primeiros termos, que é dada por: S3 = a1*(q^3 - 1)/(q - 1) Também sabemos que a soma dos termos até o terceiro é igual a: S3 = a1*(q^3 - 1)/(q - 1) = -3 Podemos usar essas informações para encontrar a razão q: a1*(q^3 - 1)/(q - 1) = -3 a1*(q^2 + q + 1) = -3(q - 1) a1 = -3(q - 1)/(q^2 + q + 1) Substituindo a1 na fórmula da soma dos três primeiros termos, temos: -3 = (-3(q - 1)/(q^2 + q + 1))*(q^3 - 1)/(q - 1) Simplificando a expressão, chegamos a: q^4 - q^3 - 2q^2 + q + 3 = 0 Podemos resolver essa equação de quarto grau para encontrar o valor de q. Uma das soluções é q = 2. Substituindo na fórmula de a1, temos: a1 = -3(2 - 1)/(2^2 + 2 + 1) = -1/3 Agora podemos encontrar o quarto termo da progressão: a4 = a1*q^3 = (-1/3)*2^3 = -8/3 Portanto, o quarto termo da progressão geométrica é -8/3.