11. (Ita 1999) Duas circunferências de raios iguais a 9 m e 3 m são tangentes externamente num ponto C. Uma reta tangencia estas duas circunferênci...

Para resolver esse problema, podemos utilizar o Teorema de Pitágoras e a fórmula da área do triângulo. Primeiro, vamos traçar o segmento AC e o segmento BC. Como as circunferências são tangentes externamente, temos que AC = 9 + 3 = 12 e BC = 9 - 3 = 6. Agora, vamos traçar a altura do triângulo ABC relativa ao lado AB. Essa altura é a distância entre o ponto C e a reta AB. Como a reta é tangente às circunferências, temos que a altura é igual ao raio da circunferência de raio 3. Portanto, a altura é igual a 3. Assim, temos que a área do triângulo ABC é dada por: Área = (base x altura)/2 = (AB x 3)/2 Pelo Teorema de Pitágoras, temos que: AB² = AC² - BC² AB² = 12² - 6² AB² = 108 AB = √108 = 6√3 Substituindo na fórmula da área, temos: Área = (AB x 3)/2 Área = (6√3 x 3)/2 Área = 27√3/2 Portanto, a alternativa correta é a letra b).