EXC051. (Uerj) O valor da energia potencial, Ep, de uma partícula de massa m sob a ação do campo gravitacional de um corpo celeste de massa M é dad...

Para determinar a densidade mínima de um buraco negro, em função de R, de c e da constante G, é necessário utilizar a equação da velocidade de escape: Ve = √(2GM/R) Onde Ve é a velocidade de escape, G é a constante de gravitação universal, M é a massa do corpo celeste (no caso, o buraco negro) e R é o raio do corpo celeste. Para que a partícula escape da ação gravitacional do buraco negro, sua velocidade inicial deve ser igual ou maior que a velocidade de escape. Portanto, a energia cinética inicial da partícula deve ser igual ou maior que a energia potencial gravitacional na superfície do buraco negro: Ec ≥ Ep Substituindo as expressões para Ec e Ep, temos: (1/2)mv² ≥ GmM/R Simplificando a expressão, temos: v ≥ √(2GM/R) Como a velocidade de escape é igual a essa expressão, temos: Ve = √(2GM/R) = c Substituindo c na expressão, temos: c = √(2GM/R) Isolando M, temos: M = (c²R)/(2G) A densidade mínima do buraco negro é dada pela razão entre sua massa e seu volume: d = M/V Substituindo a expressão para M e considerando que o volume de uma esfera é (4/3)πR³, temos: d = (c²R)/(2G) / [(4/3)πR³] Simplificando a expressão, temos: d = 3c² / (8πGR²) Portanto, a densidade mínima do buraco negro é dada por 3c² / (8πGR²), em que c é a velocidade da luz no vácuo, G é a constante de gravitação universal e R é o raio de um corpo celeste de mesma massa para o qual a velocidade de escape de uma partícula corresponde à velocidade c da luz no vácuo.