Para encontrar a equação polar da curva definida pela função \(\vec{G}(u) = \langle 2u, 2u \rangle\), podemos reescrever as coordenadas cartesianas em termos de coordenadas polares. Sabemos que: - \(x = r \cos(\theta)\) - \(y = r \sin(\theta)\) Dado que \(x = 2u\) e \(y = 2u\), podemos igualar as duas expressões: \[ r \cos(\theta) = 2u \] \[ r \sin(\theta) = 2u \] Como \(x = y\), podemos concluir que \(\tan(\theta) = 1\), o que implica que \(\theta = \frac{\pi}{4}\). Agora, substituindo \(u\) por \(r\) nas equações, temos: \[ r \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = 2u \quad \text{e} \quad r \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = 2u \] Como \(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\), podemos escrever: \[ r \frac{\sqrt{2}}{2} = 2u \] Portanto, \(r = 2u \sqrt{2}\). Como \(u > 0\), a equação polar da curva é: \[ r = 2\sqrt{2} \cdot \frac{r}{\sqrt{2}} \quad \Rightarrow \quad r = 2 \] Assim, a equação polar da curva é \(r = 2\).