Prove que a equação x3 − 4x + 2 = 0 admite três raízes reais distintas. a) Seja α a menor raiz positiva da equação x3 − 4x + 2 = 0. Determine inte...

a) Para encontrar os intervalos que contêm a menor raiz positiva α, podemos usar o Teorema do Valor Intermediário. Sabemos que a equação x³ - 4x + 2 = 0 tem pelo menos uma raiz real positiva, que é α. Além disso, podemos observar que a função f(x) = x³ - 4x + 2 é contínua em todos os pontos. Portanto, se escolhermos um valor a < α e um valor b > α, a função f(x) assume todos os valores entre f(a) e f(b), pelo menos uma vez, no intervalo [a, b]. Assim, podemos escolher, por exemplo, a = 0 e b = 1, e concluir que α está no intervalo [0, 1]. b) Para provar que todo polinômio do grau 3 admite pelo menos uma raiz real, podemos usar o Teorema de Bolzano. Seja p(x) = ax³ + bx² + cx + d um polinômio de grau 3. Suponha que p(x) não tenha raízes reais. Então, p(x) tem sempre o mesmo sinal para todos os valores de x. Sem perda de generalidade, podemos supor que p(x) é sempre positivo. Então, p(-x) = -ax³ + bx² - cx + d é sempre negativo. Mas isso significa que p(x) e p(-x) têm sinais opostos em x = 0, o que contradiz o Teorema de Bolzano. Portanto, p(x) deve ter pelo menos uma raiz real. c) Para provar que todo polinômio de grau ímpar admite pelo menos uma raiz real, podemos usar o mesmo argumento do item b), mas com uma pequena modificação. Seja p(x) um polinômio de grau ímpar. Então, p(x) tem sempre o mesmo sinal para x grande o suficiente. Sem perda de generalidade, podemos supor que p(x) é sempre positivo para x grande o suficiente. Mas isso significa que p(-x) é sempre negativo para x grande o suficiente. Portanto, p(x) e p(-x) têm sinais opostos para x grande o suficiente. Mas isso significa que p(x) e p(-x) têm pelo menos uma raiz real em comum, o que prova que p(x) tem pelo menos uma raiz real.