7. Uma caixa de papelão sem tampa deve ter um volume de 32.000 cm3. Determine as dimensões que minimizem a quantidade de papelão utilizado.

Para minimizar a quantidade de papelão utilizado, é necessário encontrar as dimensões da caixa que satisfaçam o volume de 32.000 cm³ e minimizem a área total da caixa. Sejam x, y e z as dimensões da caixa. Temos que: - O volume da caixa é dado por V = xyz = 32.000 cm³. - A área total da caixa é dada por A = 2xy + 2xz + 2yz. Podemos isolar uma das variáveis das equações acima e substituir na equação da área total, obtendo uma equação em duas variáveis. Por exemplo, isolando z na equação do volume, temos: z = 32.000 / (xy) Substituindo na equação da área total, temos: A = 2xy + 2x(32.000 / y) + 2y(32.000 / x) Simplificando, temos: A = 64.000 (x/y + y/x) + 4xy Para minimizar a área total, podemos derivar a equação acima em relação a x, igualar a zero e resolver para x: dA/dx = 64.000 (-x/y² + y/x²) + 4y = 0 Simplificando, temos: x³ - 16.000y = 0 Resolvendo para x, temos: x = (16.000y)^(1/3) Substituindo na equação do volume, temos: y²z = 32.000 / x = 2.000y^(2/3) Resolvendo para z, temos: z = 2.000 / y^(1/3) Portanto, as dimensões que minimizam a quantidade de papelão utilizado são: x = (16.000y)^(1/3) y = 4.000 cm z = 5 cm