Uma caixa retangular de papelão sem tampa deve ser feita com 48 m² de papelão. Determine o volume máximo dessa caixa. A.  2m3. B.  4m3. C.  8m...

Para determinar o volume máximo da caixa retangular, precisamos encontrar as dimensões que maximizam o volume. Sabemos que a área total de papelão é 48 m², então a área da caixa é 48 m². Sejam x, y e z as dimensões da caixa. Temos que a área total é dada por: 2xy + 2xz + 2yz = 48 Simplificando, temos: xy + xz + yz = 24 O volume da caixa é dado por: V = xyz Podemos isolar uma das variáveis da equação da área e substituir na equação do volume: yz = 24 - xy - xz V = x(24 - xy - xz) Para maximizar o volume, precisamos encontrar o valor máximo dessa função. Podemos fazer isso encontrando o valor de x que maximiza a função. Para isso, podemos derivar a função em relação a x e igualar a zero: dV/dx = 24x - 2x²y - 2xz = 0 Isolando x, temos: x = 12 - yz/2 Substituindo na equação do volume, temos: V = (12 - yz/2)y*z Podemos agora maximizar o volume encontrando os valores de y e z que maximizam a função. Como y e z são simétricos na equação, podemos assumir que y = z. Substituindo na equação da área, temos: 2y² + 2y² + 2y² = 48 6y² = 48 y² = 8 y = z = √8 Substituindo na equação do volume, temos: V = (12 - 4)y² V = 4y³ V = 4(√8)³ V = 4*2√2 V = 8√2 Portanto, a alternativa correta é a letra C) 8m³.