y(0)=1; ( ) 5 40 ='y 7) xx'y"y 23 2 +=− 8) 123 2 +−=+ xx'y"y 9) xsenxcosy'y"y 44362 −=++ 10) xx eey'y"y 23243 −−=−+ 11) 2322 2 +−=++ xxy'y"y 12) 22 3 +=+− xy'y"y 13) xex'y"y −+=+ 14) 26 −= x"y 15) xcos.e'y"y x242 −=+ 16) ( )xcos.e'y"y x 2−=+ 17) 6 11 6 0y"' y" y' y− + − = 18) 3 7 5 0y"' y" y' y− + − = 19) 3 3 0y"' y" y' y− + − = 20) 4 5 2 2 3y"' y" y' y x− + − = + 21) 2 1 3 xy"' y" x xe+ = + + 22) 045 =+− 'y"yyiv 23) 23 2 2 xy"' y' y e−− + = 24) 2y"' y" y' y x x− + − = + 25) y"' y' sen x− = 26) 212 6y"' y" x x− = + 27) xcos'yyiv 5=− 28) 32ivy y"' y" x− + = 29) 032 =++ y'xy"yx 30) 02 =++ x y x 'y"y 31) 042 =++ y'xy"yx 32) y"yx 22 = Alejandro E. García Venturini 482 C) Sistemas de ecuaciones 1) −−= −= yx dt dy xy dt dx 3 2) += −−= yx dt dy xy dt dx 5 3) 2 dy x dt dx x y dt = = − − 4) ++= += tyx dt dy xy dt dx 5) =++ =++ 023 032 dt dyyx yx dt dx , hallar S.P. si ( ) ∧= 20x ( ) 00 =y 6) +−−= ++= txy dt dy txy dt dx 234 , hallar S.P. si ( ) ∧= 00x ( ) 10 =y D) Problemas 1) Determinar la función ( )xg para que el campo ( ) ( ) ( )[ ]xg.;x"g.yy;xf 2= admita función potencial si ( ) ( )0 1 2 4f ; ;= . Calcularla. 2) Hallar el área limitada por ( )xhz −= 2 , con 0≥≥ yx , si h (x) es la solución particular de 28444 2 ++=++ xxy'y"y . ( ) ( ) 000 == 'yy . 3) Hallar el área de la región plana limitada por la gráfica de f (x), si ésta es la S.P. de 1y" y+ = con ( ) ( )0 0 0y y'= = , y el eje x con 0 2x π≤ ≤ . 4) Dado el campo vectorial ( ) ( ) ( ) ( )2f x; y y.h' x ;h' x h x= + , continuo y derivable, con ( ) ( )0 1 2 2f ; ;= , aplicando el teorema de Gauss-Green determinar ( )h x para que ( ) C f x .dx + a lo largo de la frontera de una región D resulte igual a 4 veces el área de la región D. 5) Calcular ( ) 2 C x y .dx y .dy+ + desde (0;0) a (1;1) a lo largo de la curva solución particular de 2 2y" y' x− = − , con ( )0 0y' = . Ecuaciones diferenciales de 2º orden 483 RESPUESTAS A) 1) xx eCeCy 2 2 1 += , S.P.: xx eey +−= 2 2) xx xeCeCy 3 3 2 3 1 −− += , S.P.: xx xeey 33 3 −+= 3) xx xeCeCy 21 += 4) ( ) ( )xsenKxcosKy 22 21 += B) 5) 4 3 2 12 2 2 1 −+−+= − xxeCeCy xx 6) xxx eeCeCy 22 4 1 ++= −− , S.P.: xxx eeey 242 4 +−= −− 7) xcosxsene.xCeCy xx 25 4 25 32 1 2 1 +++= 8) 3 2 3 1 2 2 3 1 +−−+= − xeeCeCy xxx 9) 2 21 2 1 xeCCy x ++= − 10) xsenxcoseCCy x 5 2 5 12 21 −−+= , S.P.: xsenxcosey x 5 2 5 1 5 3 5 3 2 −−+= 11) xxxeCCy x 27 8 9 4 9 1 233 21 −−−+= 12) xxxeCCy x 27 17 9 4 9 1 233 21 +−++= − 13) ( ) ( )( ) ( )xsenxcosxsenKxcosKey x 4 346 194 346 37 4 47 24 47 1 4 1 +−+= − 14) xx xx eeeCeCy 23 7 3 2 2 3 7 3 2 1 3 1 − −−+− −++= 15) 20112 2 21 +−++= −− xxxeCeCy xx 16) 26186 23 21 +++++= xxxxeCeCy xx 17) xx xexxeCCy −− −−++= 2 21 2 1 18) 23 21 xxC.xCy −++= 19) −−++= −− xsenxcoseeCCy xx 5 1 10 122 21 20) ( ) ( )−+= −− xsenxcoseeCCy xx 2 10 12 5 1 21 21) xxx eCeCeCy 3 3 2 21 ++= 22) ( ) ( )[ ]xsenKxcosKeeCy xx 22 211 ++= 23) xxx exCxeCeCy 2 321 ++= 24) 42 321 −−++= xeCe.xCeCy xxx Alejandro E. García Venturini 484 25) xxx eexxxxxCCeCy 4 15 2 3 12 1 3 1 2 3 432 321 −++−+++= − 26) xxxx eCeCeCeCy 2 4 2 321 −− +++= 27) xxxx e.xeCe.xCeCy 22 321 9 2 −− +++= 28) 132 211 −−−++= xxxsenKxcosKeCy x 29) ++= − xsenKxcosKeeCy x/x 2 3 2 3 21 21 1 30) 234 321 155 xxxeCxCCy x −−−++= 31) xsen.xxsenKxcosKeCeCy xx 4 5 2121 −+++= − 32) xx xeCeCxxxxxCCy 43 5432 21 20 1 2 1312 ++++++++= 33) xln.xC +xC =y 1 2 1 1 −− 34) ( ) ( )xlnsenK +xlncosK =y 21 35) ( ) ( )xlnsenK +xlncosK =y 22 21 36) 1 2 2 1 −xC +xC =y C) 1) ( ) xexg 2= , ( ) yey;xU x2= 2) A =13 6 3) A = 2π 4) ( ) 2 4 2xh x e x−= + − 5) 7 6C f .dx = Resumen de fórmulas 485 RESUMEN DE FÓRMULAS CURVAS EN 2 a) En forma explícita: ( )y f x= 0 0P x= b) En forma implícita: ( ) 0F x; y = ( )0 0 0P x ; y= c) En forma paramétrica: ( ) ( ) ( )f t x