Sabe-se que numa progressão aritmética crescente de 30 termos, os dois primeiros termos são as raízes da equação polinomial do segundo grau . Qual ...

Se os dois primeiros termos da PA são as raízes da equação polinomial do segundo grau, então podemos escrever a PA como: a, b, c, ... Onde a e b são as raízes da equação polinomial e c é o terceiro termo da PA. Sabemos que a PA tem 30 termos, então podemos escrever o trigésimo termo como: a + 29r Onde r é a razão da PA. Como a PA é crescente, a razão é positiva. Podemos encontrar a razão r usando as raízes da equação polinomial. Sabemos que a soma das raízes de uma equação polinomial do segundo grau é dada por: a + b = - (coeficiente do termo do primeiro grau) / (coeficiente do termo do segundo grau) Neste caso, o coeficiente do termo do primeiro grau é 1 e o coeficiente do termo do segundo grau é -1, então temos: a + b = -1 / (-1) = 1 Como a e b são os dois primeiros termos da PA, temos: b - a = r Substituindo b = 1 - a e r = b - a, temos: r = 1 - a Agora podemos encontrar o trigésimo termo da PA: a + 29r = a + 29(1 - a) = 29 - 28a Para encontrar o valor de a, podemos usar as raízes da equação polinomial. Sabemos que as raízes são a e b, então podemos escrever a equação polinomial como: (x - a)(x - b) = 0 Expandindo a expressão, temos: x^2 - (a + b)x + ab = 0 Substituindo a + b = 1 e ab = c, temos: x^2 - x + c = 0 Como a PA tem 30 termos, temos: c + (c + r) + (c + 2r) + ... + (c + 29r) = 30c + r(0 + 1 + 2 + ... + 29) = 30c + 435r Substituindo c = ab e r = 1 - a, temos: ab + (ab + 1 - a) + (ab + 2 - 2a) + ... + (ab + 29 - 29a) = 30ab + (435 - 435a) Simplificando, temos: 29ab + 435 - 406a = 0 Substituindo b = 1 - a, temos: 29a(1 - a) + 435 - 406a = 0 Simplificando, temos: -28a^2 + 377a + 435 = 0 Resolvendo a equação do segundo grau, encontramos: a = 15/14 ou a = -5/7 Como a PA é crescente, a única solução possível é a = 15/14. Substituindo na expressão para o trigésimo termo, temos: 29 - 28a = 29 - 28(15/14) = 29/2 Portanto, o último termo da PA é 29/2, que é aproximadamente igual a 14,5. A alternativa correta é a letra E).