Prove usando a definição de derivadas que d(cosx)/dx= = -sen x

Para provar que d(cosx)/dx = -sen x usando a definição de derivadas, precisamos aplicar a definição de derivada: f'(x) = lim (h -> 0) [f(x + h) - f(x)] / h Começando com a função f(x) = cos(x), temos: d(cosx)/dx = f'(x) = lim (h -> 0) [cos(x + h) - cos(x)] / h Agora, podemos usar a identidade trigonométrica: cos(a + b) = cos(a)cos(b) - sen(a)sen(b) Aplicando essa identidade, temos: cos(x + h) - cos(x) = cos(x)cos(h) - sen(x)sen(h) - cos(x) cos(x + h) - cos(x) = -sen(x)sen(h) Substituindo na definição de derivada, temos: d(cosx)/dx = f'(x) = lim (h -> 0) [-sen(x)sen(h)] / h d(cosx)/dx = f'(x) = -sen(x) lim (h -> 0) [sen(h) / h] Sabemos que lim (h -> 0) [sen(h) / h] = 1, então: d(cosx)/dx = f'(x) = -sen(x) * 1 d(cosx)/dx = f'(x) = -sen(x) Portanto, provamos que d(cosx)/dx = -sen(x) usando a definição de derivadas.