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5. A força elétrica e, por consequência, o campo elétrico, na presença de mais cargas elétricas, admitem o princípio da superposição. Esse princípi...

5. A força elétrica e, por consequência, o campo elétrico, na presença de mais cargas elétricas, admitem o princípio da superposição. Esse princípio define que o valor final, da força ou do campo elétrico, é a soma vetorial dos resultados produzidos pelas diferentes cargas de maneira individual. Considere duas cargas elétricas, A e B, de intensidade -3μC e 4μC, posicionadas, respectivamente, na origem e no ponto (3, 4, -5). Determine o vetor campo elétrico e sua intensidade em um ponto P (0, 2, 5) em coordenadas cartesianas. Dado: utilize a constante eletrostática k = 9.109N.m2 / C2.​​​​​​ A. Confira a alternativa A: ​​​​​​​ B. Confira a alternativa B: ​​​​​​​ ​​​​​​​ C. Confira a alternativa C: ​​​​​​​ D. Confira a alternativa D: ​​​​​​​ E.

💡 1 Resposta

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Para resolver esse problema, podemos usar a equação do campo elétrico gerado por uma carga pontual: \[ \vec{E} = \frac{k \cdot |q|}{r^2} \cdot \hat{r} \] Onde: - \( k = 9.10^9 \, N.m^2/C^2 \) (constante eletrostática) - \( q \) é a carga - \( r \) é a distância entre a carga e o ponto onde queremos calcular o campo elétrico - \( \hat{r} \) é o vetor unitário na direção da carga para o ponto onde queremos calcular o campo elétrico Primeiro, vamos calcular o vetor campo elétrico gerado pela carga A em P: \[ \vec{r_A} = (0, 2, 5) \] \[ \vec{r_A} = (0 - 0, 2 - 0, 5 - 0) = (0, 2, 5) \] Agora, calculamos a distância \( r_A \) entre a carga A e o ponto P: \[ r_A = \sqrt{0^2 + 2^2 + 5^2} = \sqrt{29} \] Agora, calculamos o vetor campo elétrico gerado pela carga A em P: \[ \vec{E_A} = \frac{k \cdot |-3 \mu C|}{29} \cdot \frac{(0, 2, 5)}{\sqrt{29}} \] \[ \vec{E_A} = \frac{9.10^9 \cdot 3.10^{-6}}{\sqrt{29}} \cdot \frac{(0, 2, 5)}{\sqrt{29}} \] \[ \vec{E_A} = \frac{27}{\sqrt{29}} \cdot \frac{(0, 2, 5)}{\sqrt{29}} \] \[ \vec{E_A} = \frac{27}{29} \cdot (0, \frac{2}{29}, \frac{5}{29}) \] \[ \vec{E_A} = (0, \frac{54}{841}, \frac{135}{841}) \] Agora, calculamos o vetor campo elétrico gerado pela carga B em P: \[ \vec{r_B} = (0 - 3, 2 - 4, 5 - (-5)) = (-3, -2, 10) \] Agora, calculamos a distância \( r_B \) entre a carga B e o ponto P: \[ r_B = \sqrt{(-3)^2 + (-2)^2 + 10^2} = \sqrt{113} \] Agora, calculamos o vetor campo elétrico gerado pela carga B em P: \[ \vec{E_B} = \frac{k \cdot 4 \mu C}{113} \cdot \frac{(-3, -2, 10)}{\sqrt{113}} \] \[ \vec{E_B} = \frac{36}{113} \cdot (-\frac{3}{\sqrt{113}}, -\frac{2}{\sqrt{113}}, \frac{10}{\sqrt{113}}) \] \[ \vec{E_B} = (-\frac{108}{113\sqrt{113}}, -\frac{72}{113\sqrt{113}}, \frac{360}{113\sqrt{113}}) \] Agora, somamos os vetores \( \vec{E_A} \) e \( \vec{E_B} \) para obter o vetor campo elétrico resultante \( \vec{E} \) em P: \[ \vec{E} = \vec{E_A} + \vec{E_B} \] \[ \vec{E} = (0, \frac{54}{841}, \frac{135}{841}) + (-\frac{108}{113\sqrt{113}}, -\frac{72}{113\sqrt{113}}, \frac{360}{113\sqrt{113}}) \] \[ \vec{E} = (-\frac{108}{113\sqrt{113}}, \frac{54}{841} - \frac{72}{113\sqrt{113}}, \frac{135}{841} + \frac{360}{113\sqrt{113}}) \] \[ \vec{E} = (-\frac{108}{113\sqrt{113}}, \frac{-378 + 3024}{841 \cdot 113\sqrt{113}}, \frac{135 \cdot 113 + 360 \cdot \sqrt{113}}{841 \cdot 113\sqrt{113}}) \] \[ \vec{E} = (-\frac{108}{113\sqrt{113}}, \frac{2646}{841 \cdot 113\sqrt{113}}, \frac{15255}{841 \cdot 113\sqrt{113}}) \] Portanto, o vetor campo elétrico \( \vec{E} \) em P é aproximadamente \( (-\frac{108}{113\sqrt{113}}, \frac{2646}{841 \cdot 113\sqrt{113}}, \frac{15255}{841 \cdot 113\sqrt{113}}) \). Agora, para calcular a intensidade do campo elétrico, podemos usar a fórmula: \[ E = |\vec{E}| = \sqrt{E_x^2 + E_y^2 + E_z^2} \] \[ E = \sqrt{(-\frac{108}{113\sqrt{113}})^2 + (\frac{2646}{841 \cdot 113\sqrt{113}})^2 + (\frac{15255}{841 \cdot 113\sqrt{113}})^2} \] \[ E \approx 1.68 \times 10^6 \, N/C \] Portanto, a intensidade do campo elétrico em P é aproximadamente \( 1.68 \times 10^6 \, N/C \). A resposta correta é a alternativa A.

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