que: a0 = )mm( m 10 1 + , luego a0 )mm( 10 + = m1 por lo tanto, el segundo término toma la forma: a0 3 10 r )mm( + R = 3 1 r m R, reemplazando se ...

que: a0 = )mm( m 10 1 + , luego a0 )mm( 10 + = m1 por lo tanto, el segundo término toma la forma: a0 3 10 r )mm( + R = 3 1 r m R, reemplazando se tiene: a0 .. R = a0 m2         + − +− 3 1 0 3 0 0 r )PRa( r PR)1a( − 3 1 r m R. (II) También hemos deducido que: .. P = 2 .. P − a0 .. R , expresión que relaciona la aceleración del vector heliocéntrico P2 con los vectores aceleración, en coordenadas de Jacobi, de R y P. Luego, si reemplazamos los desarrollos de 2 .. P y a0 .. R obtenidos previamente, ver Ecs. (I) y (II) resulta: .. P = m1         + −− 3 11 200 33 0 1 rm )mm(a r 1 r a R −         + + 3 1 20 3 0 1 r )mm( r m P − − a0 m2         + − +− 3 1 0 3 0 0 r )PRa( r PR)1a( + 3 1 r m R. Notar que el termino ± 3 1 r m R se elimina (porqué ?). Por lo tanto, cuando m1 se aproxima a m0, es decir cuando r →→→→ 0, la ED de movimiento de m1 o sea .. P no presenta singularidad; entonces, podemos escribir: )P( td d . = → Q Primera ecuación de Sundman (9.22) § 9.5 El teorema de Weierstrass-Sundmann para n-cuerpos. 1 Consultar: Roy, A. E.; 1978, “Orbital Motion”, págs. 152-153 y 412-414. 273 Expresión que define la primera ecuación de Sundman cuando existe una aproximación entre dos cuerpos; notar que el vector → Q es combinación lineal de los vectores P y R y tiene la expresión: → Q = m1         + − 3 11 200 3 0 1 rm )mm(a r a → R −         + + 3 1 20 3 0 1 r )mm( r m → P − − a0 m2         + − +− 3 1 0 3 0 0 r )PRa( r PR)1a(. (III) Consideremos ahora la primera ecuación del sistema (9.21), pág. 271, reemplacemos P2 por P + a0 R i.e., P2 = P + a0 R, luego resulta: .. R + 3 10 r )mm( + R = m2         + − −+ 3 1 0 3 0 0 r PRa r RPRa = = m2   ﻻ      + − +− 3 1 0 3 0 0 r PRa r PR)1a( recordar que: a0 + a1 = 1, entonces se tiene: .. R + 3 10 r )mm( + R = m2         −−+− 3 1 3 1 0 3 0 3 0 1 r P r Ra r P r Ra = = − m2         + 3 1 0 3 0 1 r a r a R + m2         − 3 1 3 0 r 1 r 1 P. entonces, podemos escribir que: .. R + 3 10 r )mm( + R = → S (9.23) donde el vector → S es combinación lineal de los vectores → R y → P y tiene la forma: S = m2         − 3 1 3 0 r 1 r 1 P − m2         + 3 1 0 3 0 1 r a r a R. Por lo tanto, las ecuaciones (9.22) y (9.23) constituyen el sistema de ED de movimiento del problema de tres cuerpos en coordenadas de Jacobi 1 . 274 § 9.5 El teorema de Weierstrass-Sundmann para n-cuerpos. Introducimos, ahora, una nueva variable independiente denominada el pseudo tiempo ττττ definido como: τ = ∫ t 0 r td por lo tanto: d τ = r td ; entonces para t → tc resulta r → 0 significa que hay una colisión; en consecuencia, la velocidad y la aceleración en función de la nueva variable independiente τ, resultan: . x = td xd = τd xd td d τ = r 1 τd xd. (a) .. x = 2 2 td xd = td d       td xd = td d       τ τ td d d xd = td d       td xd. td d τ + τd xd. td d       τ td d = = τd d       τd xd . 2 td d       τ + τd xd. td d       r 1, recordar que: td d τ = r 1 , pero td d       r 1 = − 2r 1 . r , luego .. x = 2r 1 2 2 d xd τ − 2r 1 . r τd xd. (b) además, si definimos τd xd = x´ y 2 2 d xd τ = x´´, entonces la velocidad y aceleración en función de la nueva variable independiente τ resulta: . x = r 1 τd xd = r 1 x´. .. x = 2r 1 x´´ − 2r 1 . r x´. y por tanto,