la ecuación (9.22), pág. 272, toma la forma: r1)P(dτ = →Q , luego P = )P(dτ = r →Q (9.24) Expresión que define una función analítica, denominada primera ecuación de Sundman. Esta ED representa el movimiento de m2 con respecto a G, centro de masa de m0 y m1, en coordenadas de Jacobi en función de la variable independiente τ. Como vimos [ecuación (III) pág. 274] la función Q esta definida en términos de las coordenadas de Jacobi R y P. Asimismo, de acuerdo a lo formulado en (b), resulta la siguiente expresión para .. R : R = 2r12dRdτ − 2r1.rτdRd. Recordar que esta derivada segunda representa la aceleración de m1 respecto de m0 en coordenadas de Jacobi. Luego, reemplazando en la ecuación (9.23) resulta: 2r12dRdτ − 2.rτdRd + 310r)mm( + R = S operando se tiene: 2dRdτ − .rτdRd + r)mm( 10 + R = r2 S, luego: R´´ = .r R´ − r)mm( 10 + R + r2 S. (9.25) Segunda ecuación vectorial deducida por Sundman; es una ecuación diferencial de segundo orden que representa el movimiento de m1 respecto de m0, en coordenadas de Jacobi 1, perturbado por m2, la perturbación esta representada por el término que contiene a S. Por lo tanto, las ecuaciones (9.24) y (9.25) denominadas ecuaciones de Sundman, en forma vectorial, están expresadas en función de la nueva variable independiente τ, definida como el pseudo-tiempo; estas ecuaciones están regularizadas en el sentido que evitan la singularidad cuando r → 0. NOTA: Recomendamos para un estudio detallado sobre las ecuaciones de Sundman y Levi-Civita: Cesco, R. P.; 1963, “Sobre la Solución General del Problema de los Tres Cuerpos”, Serie Astronómica, Tomo XXV, N° 4. Observatorio Astronómico, UNLP. Comentario: Una visión particular. El problema de los dos cuerpos es un modelo matemático que permite describir el movimiento de dos masas puntuales aisladas completamente i.e., no hay otros cuerpos que interactúen, lo cual significa no considerar otras posibles interacciones tales como las fuerzas electromagnéticas, fuerzas aerodinámicas (resistencia y sustentación), fuerzas de repulsión (presión de radiación), etc. Por lo tanto, no se tiene en cuenta otro tipo de variaciones o “alteraciones”, sólo se consideran las fuerzas de atracción gravitacional; sin embargo, a pesar de la idealización del problema, su solución nos permite obtener resultados muy similares al problema real; los astrónomos utilizan frecuentemente esta solución para estudiar el movimiento de un planeta alrededor del Sol, de un satélite en torno de un planeta, o de estrellas binarias que giran respecto de su baricentro, etc. En otras palabras, los resultados obtenidos constituyen una buena aproximación al movimiento real del sistema. Esto se debe a dos circunstancias: primero, que el problema de dos cuerpos genera ecuaciones diferenciales que son completamente integrables, es decir, las ecuaciones admiten una solución analítica y cerrada, lo cual es muy importante considerando que el problema de tres o más cuerpos no admite soluciones analíticas en forma cerrada; segundo, el problema de dos cuerpos constituye en sí una excelente aproximación para describir el movimiento en la mayoría de los cuerpos celestes, conocido como el problema de n-cuerpos. Por ejemplo, en el caso del Sistema Solar, al estudiar el movimiento de un cometa alrededor del Sol, se pueden aplicar los resultados del problema de dos cuerpos considerando que: entre el cometa y el Sol sólo hay vacío y que la única fuerza existente es la atracción gravitacional, admitiendo entonces que los restantes planetas no están presentes y que ambos objetos son perfectamente esféricos con distribución de masa uniforme entonces, es válida la teoría de la gravitación de Newton; estas suposiciones permiten una excelente aproximación para la predicción de la posición del cometa en función del tiempo, o al menos en una primera aproximación, pues en la realidad, conforme transcurre el tiempo la diferencia observación menos calculo, i.e., (O−C) comienza a hacerse cada vez mas grande y por tanto, el modelo lentamente empieza a arrojar resultados que no corresponden a la observación. La razón es evidente: los planetas existen y por tanto influyen gravitacionalmente sobre el cometa; la curvatura del espacio originada por la masa del Sol ocasiona ligeras perturbaciones en el movimiento del cometa; además, al pasar cerca del Sol, los cometas experimentan bruscas eyecciones de masa, convirtiéndose en esos instantes en objetos semi-autopropulsados, experimentando fuerzas semejantes a las que se generan en un cohete. Resumiendo, se concluye que, estrictamente hablando, las trayectorias de los planetas alrededor del Sol no son elipses, pero que en primera aproximación si lo son. Además, en el caso de los planetas del Sistema Solar ocurre algo que es muy importante: casi toda la masa del Sistema esta concentrada en el Sol. El planeta de mayor masa es Júpiter, cuya valor es ∼∼∼∼10-3 la masa del Sol; por lo tanto, al considerar la masa total de los demás planetas ésta no llega a ser la masa de Júpiter. Este dato, en términos prácticos, significa que al estudiar del movimiento de un planeta cualquiera, de masa m, alrededor del Sol (con masa m0), podemos emplear, en primera aproximación, los resultados del problema de los dos cuerpos, con lo que estaríamos suponiendo que los restantes planetas “casi” no influyen en el movimiento del planeta en consideración por ser la suma de las otras masas muy pequeñas con respecto a m0. Pero en periodos de tiempo muy grandes los planetas de masa mi tienen un rol muy importante sobre el movimiento del planeta m, y decimos entonces que dichos planetas “perturban” a m. La elipse que describe la trayectoria, en el espacio, de dicho planeta seria “ligeramente diferente” en tamaño y orientación espacial con respecto al tiempo. Consideremos el caso de la órbita de la Luna alrededor de la Tierra; en este sistema hay que considerar la presencia del Sol, pues la atracción gravitacional de éste es significativa sobre el satélite. Este caso es un problema de tres cuerpos (si admitimos que la atracción gravitacional de los planetas cercanos es despreciable). El problema de los tres cuerpos se puede formular en función de ecuaciones diferenciales con origen espacial en el baricentro del sistema o con centro en uno de dichos cuerpos. Lo “desafortunado” es que desde los tiempos de Newton, quien fue el primero en tratar de encontrar la solución de dichas ecuaciones, nadie ha podido hallar una solución analítica completamente general y cerrada del problema. Los astrónomos y matemáticos recurren entonces a métodos que consisten en “soluciones aproximadas” 1, las cuales se expresan en series infinitas y convergentes. En el caso particular del estudio del movimiento de la Luna, un modo de abordar el problema consiste en considerarlo, en primera aproximación, como el de dos cuerpos (Tierra y Luna) anulando la presencia del Sol. El modelo propuesto es útil sólo para unos pocos días pues a medida que transcurre el tiempo es evidente que la teoría no coincide con la observación. Es obvio que el Sol influye gravitacionalmente sobre la Luna y en consecuencia interviene en la orientación y la forma de la órbita la cual varía progresivamente con el tiempo. Las técnicas matemáticas “de aproximación” tratan de tener en cuenta como es la perturbación del Sol sobre la Luna para todo t. Este es un proceso que involucra una cantidad importante de cálculos matemáticos y métodos numéricos. El problema se dificulta aun mas cuando uno de los cuerpos tiene una gran aproximación con otro, entonces, este fenómeno se manifi