Para encontrar o valor de \( m - n \), podemos usar o Teorema do Resto. Sabemos que o resto da divisão de \( P(x) \) por \( (x - 1) \) é 40 e por \( (x - 2) \) é 21. Quando dividimos \( P(x) \) por \( (x - 1) \), o resto é o valor de \( P(1) \). Assim, temos: \[ P(1) = -5(1)^4 + (1)^3 + m(1)^2 + n(1) + 1 = 40 \] \[ -5 + 1 + m + n + 1 = 40 \] \[ m + n = 43 \] Da mesma forma, quando dividimos \( P(x) \) por \( (x - 2) \), o resto é o valor de \( P(2) \). Então: \[ P(2) = -5(2)^4 + (2)^3 + m(2)^2 + n(2) + 1 = 21 \] \[ -80 + 8 + 4m + 2n + 1 = 21 \] \[ 4m + 2n = 92 \] \[ 2m + n = 46 \] Agora, podemos resolver esse sistema de equações para encontrar \( m \) e \( n \): \[ m + n = 43 \] \[ 2m + n = 46 \] Subtraindo a primeira equação da segunda, obtemos: \[ m = 3 \] Substituindo \( m = 3 \) na primeira equação, encontramos: \[ 3 + n = 43 \] \[ n = 40 \] Portanto, \( m - n = 3 - 40 = -37 \). Assim, a alternativa correta é: (D) -37