Exerćıcio 1: Determine a menor distância entre o ponto (2, 0,−3) e o plano de equação x+ y + z = 1.

Question

Ed · Answer

Para determinar a menor distância entre o ponto $ P(2, 0, -3) $ e o plano dado pela equação $ x + y + z = 1 $, podemos usar a fórmula da distância de um ponto a um plano.

A fórmula da distância $ d $ de um ponto $ (x_0, y_0, z_0) $ ao plano $ Ax + By + Cz + D = 0 $ é dada por:

$$
d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}
$$

Primeiro, precisamos reescrever a equação do plano na forma $ Ax + By + Cz + D = 0 $. A equação do plano $ x + y + z = 1 $ pode ser reescrita como:

$$
x + y + z - 1 = 0
$$

Aqui, temos $ A = 1 $, $ B = 1 $, $ C = 1 $ e $ D = -1 $.

Agora, substituímos as coordenadas do ponto $ P(2, 0, -3) $ na fórmula:

$$
d = \frac{|1(2) + 1(0) + 1(-3) - 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}}
$$

Calculando o numerador:

$$
d = \frac{|2 + 0 - 3 - 1|}{\sqrt{3}} = \frac{|-2|}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}
$$

Portanto, a menor distância entre o ponto $ (2, 0, -3) $ e o plano $ x + y + z = 1 $ é $ \frac{2\sqrt{3}}{3} $.

Ed · Answer

Para determinar a menor distância entre um ponto e um plano, podemos usar a fórmula:

d = |ax₀ + by₀ + cz₀ + d| / √(a² + b² + c²)

Onde (x₀, y₀, z₀) é o ponto dado e a equação do plano é ax + by + cz + d = 0.

No caso do ponto (2, 0, -3) e do plano x + y + z = 1, temos a equação do plano como x + y + z - 1 = 0.

Substituindo os valores na fórmula, obtemos:

d = |1*2 + 1*0 + 1*(-3) - 1| / √(1² + 1² + 1²)
d = |2 - 3 - 1| / √3
d = |-2| / √3
d = 2 / √3
d = 2√3 / 3

Portanto, a menor distância entre o ponto (2, 0, -3) e o plano x + y + z = 1 é 2√3 / 3.

Cálculo

Exerćıcio 1: Determine a menor distância entre o ponto (2, 0,−3) e o plano de equação x+ y + z = 1.

Máximos e Mínimos em Funções

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