Considere a matriz [2 A= 1 7] all Quais são os autovalores de A?

Para encontrar os autovalores da matriz \( A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 7 \end{pmatrix} \), precisamos resolver a equação característica, que é dada por: \[ \text{det}(A - \lambda I) = 0 \] onde \( I \) é a matriz identidade e \( \lambda \) é o autovalor. 1. Primeiro, subtraímos \( \lambda \) da diagonal da matriz \( A \): \[ A - \lambda I = \begin{pmatrix} 2 - \lambda & 1 \\ 1 & 7 - \lambda \end{pmatrix} \] 2. Agora, calculamos o determinante: \[ \text{det}(A - \lambda I) = (2 - \lambda)(7 - \lambda) - (1)(1) \] 3. Expandindo isso, temos: \[ (2 - \lambda)(7 - \lambda) - 1 = 14 - 9\lambda + \lambda^2 - 1 = \lambda^2 - 9\lambda + 13 \] 4. Agora, igualamos a zero: \[ \lambda^2 - 9\lambda + 13 = 0 \] 5. Usamos a fórmula de Bhaskara para encontrar os autovalores: \[ \lambda = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{9 \pm \sqrt{(-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 13}}{2 \cdot 1} \] \[ = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 52}}{2} = \frac{9 \pm \sqrt{29}}{2} \] Portanto, os autovalores de \( A \) são: \[ \lambda_1 = \frac{9 + \sqrt{29}}{2} \quad \text{e} \quad \lambda_2 = \frac{9 - \sqrt{29}}{2} \]