4. Calcule as integrais por partes definidas: a) ∫ 4 2 xexdx b) ∫ 1 0 x sen(x)dx c) ∫ 10 7 ln xdx

Para resolver integrais por partes definidas, é importante lembrar da fórmula de integração por partes: ∫u dv = uv - ∫v du Vamos resolver cada uma das integrais: a) ∫ de 2 a 4 xexdx Escolhendo u = x e dv = exdx, temos du = dx e v = ex. Aplicando a fórmula de integração por partes, temos: = xex - ∫exdx de 2 a 4 = xex - ex de 2 a 4 = 4e^4 - 4e^4 - 2e^2 + 2e^2 = -2e^2 b) ∫ de 0 a 1 x sen(x)dx Escolhendo u = x e dv = sen(x)dx, temos du = dx e v = -cos(x). Aplicando a fórmula de integração por partes, temos: = -xcos(x) - ∫-cos(x)dx de 0 a 1 = -xcos(x) + sen(x) de 0 a 1 = -cos(1) + sen(1) - (0 - 0) = -cos(1) + sen(1) c) ∫ de 7 a 10 ln(x)dx Escolhendo u = ln(x) e dv = dx, temos du = (1/x)dx e v = x. Aplicando a fórmula de integração por partes, temos: = xln(x) - ∫x(1/x)dx de 7 a 10 = xln(x) - ∫dx de 7 a 10 = xln(x) - x de 7 a 10 = 10ln(10) - 10 - 7ln(7) + 7 Portanto, as respostas são: a) -2e^2 b) -cos(1) + sen(1) c) 10ln(10) - 10 - 7ln(7) + 7