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Álgebra Linear

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10. A normalização de um vetor é a simples transformação dele em um vetor unitário caso não seja. Este é um dos processos utilizados para delimitar vetores que são ortonormais (como nos estudos no Processo de GRAM-SCHMIDT), ou seja, além de serem ortogonais entre si, possuem comprimento igual a 1. Determine qual dos itens a seguir apresenta a normalização do vetor v = (6, 2, -3) e assinale a alternativa CORRETA:
a) Somente a opção III está correta.
b) Somente a opção IV está correta.
c) Somente a opção I está correta.
d) Somente a opção II está correta.
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ALGEBRA LINEAR- AVALIAÇÃO 2
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Vamos normalizar o vetor v = (6, 2, -3) para transformá-lo em um vetor unitário, ou seja, um vetor com comprimento igual a 1. O comprimento de um vetor tridimensional é dado pela fórmula: ||v|| = sqrt(x^2 + y^2 + z^2), onde (x, y, z) são as componentes do vetor. Para o vetor v = (6, 2, -3), temos: ||v|| = sqrt(6^2 + 2^2 + (-3)^2) ||v|| = sqrt(36 + 4 + 9) ||v|| = sqrt(49) ||v|| = 7 Para normalizar o vetor v, dividimos cada componente pelo comprimento do vetor: v_unitário = (6/7, 2/7, -3/7) Portanto, o vetor unitário correspondente ao vetor v = (6, 2, -3) é v_unitário = (6/7, 2/7, -3/7). Analisando as opções fornecidas: a) Somente a opção III está correta. b) Somente a opção IV está correta. c) Somente a opção I está correta. d) Somente a opção II está correta. A única alternativa que está correta é a opção: c) Somente a opção I está correta.

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1. A norma ou módulo de um vetor trata-se da verificação de qual é o comprimento do vetor analisado. Fisic alternativa CORRETA que apresenta a norma (ou módulo) do vetor z = (3,4).
a) Raiz de 10.
b) Raiz de 5.
c) 3.
d) 5.

3. O produto vetorial é de grande utilidade para a física para analisar o comportamento no eletromagnetismo, mecânica de corpos rígidos e dos fluidos. Na matemática, o produto vetorial aplica-se a vetores em R³ resolvendo problemas na geometria, em que o produto entre dois vetores tem como solução um novo vetor, simultaneamente ortogonal aos outros dois. Quanto ao produto vetorial (u x v) entre os vetores u = (1,3,2) e v = (1,2,-2), analise as sentenças a seguir:
I) u x v = (10,4,1).
II) u x v = (-10,4,-1).
III) u x v = (10,1,-4).
IV) u x v = (4,10,-1).
a) Somente a sentença III está correta.
b) Somente a sentença IV está correta.
c) Somente a sentença II está correta.
d) Somente a sentença I está correta.

4. As operações vetoriais existentes são a soma e a multiplicação por um escalar. Combinando estas operações podemos realizar uma série de outros vetores que podem ser aplicados em diversas áreas. Sendo assim, dados os vetores u = (1, -2) e v = (3,-3), assinale a alternativa CORRETA que apresenta o vetor resultante da operação w = 3u - 2v:
a) w = (4,5).
b) w = (-3,0).
c) w = (2,-1).
d) w = (0,-3).

6. A noção comum de vetores como objetos com tamanho, direção e sentido, com as operações de adição e multiplicação por números reais forma a ideia básica de um espaço vetorial. Deste ponto de partida, então, para definirmos um espaço vetorial, precisamos de um conjunto, uma operação de adição de elementos deste conjunto, e uma operação de multiplicação de escalares (por exemplo, números reais) por elementos deste conjunto. A respeito das propriedades dos espaços vetoriais, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
( ) Os espaços vetoriais preservam as operações de subtração e multiplicação por escalar.
( ) Os espaços vetoriais podem ser imaginados como domínio de contradomínio de operações lineares.
( ) A base de um espaço é um conjunto LI que gera todos os elementos de um espaço.
( ) A base de um espaço é um conjunto LD que gera todos os elementos de um espaço.
a) V - F - V - F.
b) F - V - V - F.
c) F - F - F - F.
d) V - V - F - V.

7. Ao analisar os Espaços Vetoriais, podemos realizar a análise de sua dimensão. Nesse sentido, é possível relacioná-la com a quantidade de vetores LI que geram este espaço. As aplicações deste conceito são puramente utilizadas na matemática, nas provas de teoremas e propriedades. Baseado nisto, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
( ) A dimensão do conjunto de matrizes de ordem n x n é igual a n².
( ) A dimensão do espaço formado pelos polinômio de grau 3 é igual a 3.
( ) A dimensão do R² é igual a 3.
( ) A dimensão do espaço formado pelos polinômios de grau 3 é igual a 4.
a) V - F - F - V.
b) F - F - V - V.
c) F - V - F - V.
d) V - F - F - F.

8. Em muitas aplicações não é interessante trabalhar com um espaço vetorial 'inteiro', mas com uma parte deste espaço, ou seja, um subespaço, que seja constituído pelas combinações lineares de um dado conjunto de vetores. Será, então, conveniente escrever os elementos desse subespaço como combinações lineares de um conjunto que contenha o menor número possível de vetores e que estes sejam escritos de forma simplificada. Neste aspecto, podemos representar estes subespaços através de bases. Sobre os conjuntos que podem ser bases de R², classifique V para as opções verdadeiras e F para as falsas:
( ) {(2,3),(-1,4)}.
( ) {(2,3),(-6,-9)}.
( ) {(1,5),(3,11)}.
( ) {(0,2),(0,0)}.
a) F - F - F - V.
b) V - V - F - F.
c) V - F - V - F.
d) F - V - F - V.

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