11. Considere o triângulo com ângulos internos x, 45º e 120º. O valor de tg²(x) é igual a a) √3 − 2 b) 4√3 − 7 c) 7 − 4√3 d) 2 − √3 e) 2 − 4√3

Para encontrar o valor de tg²(x) no triângulo com ângulos internos x, 45º e 120º, podemos usar as relações trigonométricas. Sabemos que a tangente de um ângulo em um triângulo retângulo é dada pelo cateto oposto sobre o cateto adjacente. No entanto, como não temos um triângulo retângulo aqui, precisamos usar as relações trigonométricas para encontrar tg(x). Sabemos que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180º, então x + 45º + 120º = 180º, o que nos dá x = 15º. Agora, podemos calcular tg(x) = sen(x) / cos(x) = sen(15º) / cos(15º). Usando as relações trigonométricas para 15º (que podem ser encontradas na tabela trigonométrica), temos sen(15º) = (√6 - √2) / 4 e cos(15º) = (√6 + √2) / 4. Portanto, tg(x) = [(√6 - √2) / 4] / [(√6 + √2) / 4] = (√6 - √2) / (√6 + √2). Finalmente, para encontrar tg²(x), basta elevar ao quadrado: tg²(x) = [(√6 - √2) / (√6 + √2)]² = [(√6 - √2)² / (√6 + √2)²] = [(6 - 2√6√2 + 2) / (6 + 2√6√2 + 2)] = (8 - 2√12) / (8 + 2√12) = (2(4 - √12)) / (2(4 + √12)) = (4 - 2√3) / (4 + 2√3) = (2 - √3)² / (2 + √3)² = (2 - √3) / (2 + √3) * (2 - √3) / (2 + √3) = (4 - 2√3 - 3) / (4 - 3) = (1 - 2√3). Portanto, o valor de tg²(x) é igual a 1 - 2√3, que não corresponde a nenhuma das alternativas fornecidas.