Pré-cálculo

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Se a e b são ângulos agudos e complementares, o valor da expressão sen2(a+b) - cos 2(a+b) é a) 0 b) 1 c) 2 d) √2 e) √3

Exercícios Para o Aprendizado

ano passado

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6 pág.

ENEM E VESTIBULARES TRIGONOMETRIA ARCOS E EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

UESB

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Para resolver essa questão, vamos utilizar as identidades trigonométricas para ângulos complementares: 1. sen(90° - x) = cos(x) 2. cos(90° - x) = sen(x) Dado que a e b são ângulos agudos e complementares, temos que a + b = 90°. Agora, vamos substituir na expressão sen²(a+b) - cos²(a+b): sen²(a+b) - cos²(a+b) = sen²(90°) - cos²(90°) sen²(90°) - cos²(90°) = cos²(a) - sen²(a) (pela identidade 1) cos²(a) - sen²(a) = cos²(a) - (1 - cos²(a)) (pela identidade 2) cos²(a) - 1 + cos²(a) = 2cos²(a) - 1 Portanto, o valor da expressão sen²(a+b) - cos²(a+b) é 2cos²(a) - 1. Como a e b são ângulos agudos e complementares, temos que cos(a) = sen(b) e cos(b) = sen(a). Assim, cos(a) = sen(b) = cos(b) e cos(b) = sen(a) = cos(a). Portanto, cos(a) = sen(a). Substituindo na expressão 2cos²(a) - 1: 2cos²(a) - 1 = 2sen²(a) - 1 = 2(1 - cos²(a)) - 1 = 2 - 2cos²(a) - 1 = 1 - 2cos²(a) Como cos²(a) + sen²(a) = 1, temos que sen²(a) = 1 - cos²(a). Substituindo na expressão 1 - 2cos²(a): 1 - 2cos²(a) = 1 - 2(1 - sen²(a)) = 1 - 2 + 2sen²(a) = 2sen²(a) - 1 Portanto, o valor da expressão sen²(a+b) - cos²(a+b) é igual a 2sen²(a) - 1. Como a e b são ângulos agudos e complementares, sen(a) = cos(b) = cos(a) = sen(b), então sen(a) = cos(a). Substituindo na expressão 2sen²(a) - 1: 2sen²(a) - 1 = 2cos²(a) - 1 = 2(1 - sen²(a)) - 1 = 2 - 2cos²(a) - 1 = 1 - 2cos²(a) Como cos²(a) + sen²(a) = 1, temos que cos²(a) = 1 - sen²(a). Substituindo na expressão 1 - 2cos²(a): 1 - 2cos²(a) = 1 - 2(1 - sen²(a)) = 1 - 2 + 2sen²(a) = 2sen²(a) - 1 Portanto, o valor da expressão sen²(a+b) - cos²(a+b) é igual a 2sen²(a) - 1. Assim, a resposta correta é c) 2.

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3. Simplificando a expressão sen (2π – x) + sen (3π + x), obtém-se

a) sen x
b) – sen x
c) 2 sen x
d) –2 sen x

5. Sejam x, y ∈ (0, ????/2), tais que cos(x) = 4/5 e sen(y) = 5/13. Podemos concluir que tg (x + y) é igual a:

a) 1/2
b) 7/6
c) 8/9
d) 25/52
e) 56/33

8. (UFRGS) Se cos x - sen x= 1/2, então sen (2x) é igual a:

a) 0,125
b) 0,25
c) 0,5
d) 0,75
e) 1

9. Em um determinado sistema mecânico, as extremidades de uma haste rígida AB ficam conectadas, de forma articulada, a um motor e a um corpo, conforme ilustra a figura. Quando o motor é ligado, a haste imprime ao corpo um movimento oscilatório, e a distância horizontal x(t) do ponto B em cada instante t em relação a um ponto fixo O é dado pela expressão centímetros. Nestas condições, a maior distância x(t), em centímetros, será igual a:

a) 1/2
b) √3/2
c) 1
d) 1+√3/2

10. (UECE - 2017) Seja YOZ um triângulo cuja medida da altura OH relativa ao lado YZ é igual a 6 m. Se as medidas dos segmentos YH e HZ determinados por H no lado YZ são respectivamente 2 m e 3 m, então, a medida do ângulo YÔZ é igual a

a) 90°
b) 30°
c) 60°
d) 45°

11. Considere o triângulo com ângulos internos x, 45º e 120º. O valor de tg²(x) é igual a

a) √3 − 2
b) 4√3 − 7
c) 7 − 4√3
d) 2 − √3
e) 2 − 4√3

12. Observe a figura a seguir. A figura acima representa o trapézio escaleno de altura 6cm, com base menor medindo 13cm, um dos ângulos internos da base maior medindo 75° e lado transversal oposto a esse ângulo igual a 12cm. Qual é a área, em cm², desse trapézio?

a) 120
b) 118
c) 116
d) 114
e) 112

15. Seja 0 ≤ ???? ≤ ????/2 uma medida de ângulo em radianos tal que cos ???? + ???????????? ???? = √5/2 e cos ???? − ???????????????? = √3/2. O valor de tg 2x é:

a) 4 − √15
b) √15/15
c) √15/4
d) √15
e) 4√15

17. No esquema abaixo, estão representados um quadrado ABCD e um círculo de centro P e raio r, tangente às retas AB e BC. O lado do quadrado mede 3r. A medida θ do ângulo CÂP pode ser determinada a partir da seguinte identidade trigonométrica: O valor da tangente de θ é igual a:

a) 0,65
b) 0,60
c) 0,55
d) 0,50

20. Os pontos P e Q representados no círculo trigonométrico abaixo correspondem às extremidades de dois arcos, ambos com origem em (1, 0), denominados respectivamente α e β, medidos no sentido positivo. O valor de tg (α + β) é

a) (3 + √3)/3
b) (3 - √3)/3
c) 2 + √3
d) 2 - √3
e) -1 + √3

Pré-cálculo

Se a e b são ângulos agudos e complementares, o valor da expressão sen2(a+b) - cos 2(a+b) é a) 0 b) 1 c) 2 d) √2 e) √3

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3. Simplificando a expressão sen (2π – x) + sen (3π + x), obtém-sea) sen xb) – sen xc) 2 sen xd) –2 sen x

5. Sejam x, y ∈ (0, ????/2), tais que cos(x) = 4/5 e sen(y) = 5/13. Podemos concluir que tg (x + y) é igual a:a) 1/2b) 7/6c) 8/9d) 25/52e) 56/33

8. (UFRGS) Se cos x - sen x= 1/2, então sen (2x) é igual a:a) 0,125b) 0,25c) 0,5d) 0,75e) 1

10. (UECE - 2017) Seja YOZ um triângulo cuja medida da altura OH relativa ao lado YZ é igual a 6 m. Se as medidas dos segmentos YH e HZ determinados por H no lado YZ são respectivamente 2 m e 3 m, então, a medida do ângulo YÔZ é igual aa) 90°b) 30°c) 60°d) 45°

11. Considere o triângulo com ângulos internos x, 45º e 120º. O valor de tg²(x) é igual aa) √3 − 2b) 4√3 − 7c) 7 − 4√3d) 2 − √3e) 2 − 4√3

15. Seja 0 ≤ ???? ≤ ????/2 uma medida de ângulo em radianos tal que cos ???? + ???????????? ???? = √5/2 e cos ???? − ???????????????? = √3/2. O valor de tg 2x é:a) 4 − √15b) √15/15c) √15/4d) √15e) 4√15

20. Os pontos P e Q representados no círculo trigonométrico abaixo correspondem às extremidades de dois arcos, ambos com origem em (1, 0), denominados respectivamente α e β, medidos no sentido positivo. O valor de tg (α + β) éa) (3 + √3)/3b) (3 - √3)/3c) 2 + √3d) 2 - √3e) -1 + √3

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a) 1/2
b) 7/6
c) 8/9
d) 25/52
e) 56/33

8. (UFRGS) Se cos x - sen x= 1/2, então sen (2x) é igual a:

a) 0,125
b) 0,25
c) 0,5
d) 0,75
e) 1

10. (UECE - 2017) Seja YOZ um triângulo cuja medida da altura OH relativa ao lado YZ é igual a 6 m. Se as medidas dos segmentos YH e HZ determinados por H no lado YZ são respectivamente 2 m e 3 m, então, a medida do ângulo YÔZ é igual a

a) 90°
b) 30°
c) 60°
d) 45°

11. Considere o triângulo com ângulos internos x, 45º e 120º. O valor de tg²(x) é igual a

a) √3 − 2
b) 4√3 − 7
c) 7 − 4√3
d) 2 − √3
e) 2 − 4√3

15. Seja 0 ≤ ???? ≤ ????/2 uma medida de ângulo em radianos tal que cos ???? + ???????????? ???? = √5/2 e cos ???? − ???????????????? = √3/2. O valor de tg 2x é:

a) 4 − √15
b) √15/15
c) √15/4
d) √15
e) 4√15