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10. Se f e g forem funções tais que (f ◦ g)(x) = x e (g ◦ f)(x) = x, então f e g serão funções inversas. Mostre que f e g são funções inversas.
(a) f(x) = 2x-3 e g(x) = (x+3)/2
(b) f(x) = 1/(x+1) e g(x) = (1-x)/x
(c) f(x) = x^2, x ≥ 0 e g(x) = sqrt(x)

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Para mostrar que duas funções são inversas, é necessário verificar se a composição delas resulta na função identidade, ou seja, se \( (f \circ g)(x) = x \) e \( (g \circ f)(x) = x \). Analisando as opções: a) \( f(x) = 2x-3 \) e \( g(x) = \frac{x+3}{2} \) Vamos calcular a composição: \( (f \circ g)(x) = f(g(x)) = f\left(\frac{x+3}{2}\right) = 2\left(\frac{x+3}{2}\right) - 3 = x \) - Correto \( (g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(2x-3) = \frac{(2x-3)+3}{2} = x \) - Correto Portanto, as funções \( f \) e \( g \) são inversas. Assim, a alternativa correta é (a) \( f(x) = 2x-3 \) e \( g(x) = \frac{x+3}{2} \).

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1. Dada f(x) = 2x− 1, encontre:
(a) f(3)
(b) f(x+ 1)
(c) f(2x)
(d) 2f(x)
(e) f(x+ h)
(f) f(x+ h)− f(x)

2. Dada f(x) = 3/x, encontre:
(a) f(-3)
(b) f(3x)
(c) f(3)/f(x)
(d) f(x-3)
(e) f(x)− f(3)
(f) f(x+ h)− f(x)

3. Dada g(x) = 3x^2 - 4, encontre:
(a) g(-4)
(b) g(1/3)
(c) g(x^2)
(d) [g(x)]^2
(e) g(3x^2 - 4)
(f) g(x+ h)− g(x)

4. Dada f(x) = sqrt(4-x), encontre:
(a) f(-5)
(b) f(11/9)
(c) f(4-x)
(d) f(x)− f(h)
(e) f(x+ h)
(f) f(x+ h)− f(x)

5. Encontre o domínio da função.
(a) f(x) = x/(3x-1)
(b) g(x) = (5x+4)/(x^2 + 3x + 2)
(c) h(x) = sqrt(x) + sqrt(4-x)
(d) f(x) = (5x+4)sqrt(x^2 - 4)
(e) g(x) = sqrt(x+3)/sqrt(x)
(f) h(x) = 1/(4sqrt(x^2 - 5x))

6. Encontre as funções f + g, f - g, f * g e f/g, e determine seus respectivos domínios.
(a) f(x) = x-5; g(x) = x^2 - 1
(b) f(x) = (x+1)/(x-1); g(x) = 1/x
(c) f(x) = |x|; g(x) = |x-3|
(d) f(x) = 1/(x+1); g(x) = x/(x-2)
(e) f(x) = x^2; g(x) = 1/sqrt(x)
(f) f(x) = sqrt(1+x); g(x) = sqrt(1-x)

8. Encontre a função f ◦ g ◦ h.
(a) f(x) = x+1; g(x) = 2x; h(x) = x-1
(b) f(x) = 2x-1; g(x) = x^2; h(x) = 1-x
(c) f(x) = sqrt(x-1); g(x) = x^2 + 2; h(x) = x+3
(d) f(x) = 2/(x+1); g(x) = cos(x); h(x) = sqrt(x+3)

9. Expresse as funções dadas na forma f ◦ g.
(a) F(x) = (x^2 + 1)^10
(b) F(x) = sin(sqrt(x))
(c) F(x) = x^2/(x^2 + 4)
(d) F(x) = tan(x)/(1+tan(x))

12. Encontre a função composta f ◦ g e determine o seu domínio.
(a) f(x) = sin(x); g(x) = 3x
(b) f(x) = tan(x); g(x) = x^2
(c) f(x) = cos(x); g(x) = x^2
(d) f(x) = csc(x); g(x) = 2x
(e) f(x) = cot(x); g(x) = 1/x
(f) f(x) = sec(1/x); g(x) = 1/(x-π)

13. Considerando que lim x→a f(x) = L, dados f(x), a e L, determine um δ > 0 para o valor de ǫ dado, tal que: se 0 < |x-a| < δ, então |f(x)-L| < ǫ.
(a) lim x→3 (x+2) = 5; ǫ = 0,02
(b) lim x→-1 (x^2 + 4x + 4) = 1; ǫ = 0,002
(c) lim x→3 (x^2 - x - 6) = 0; ǫ = 0,005
(d) lim x→1/3 (9x^2 - 1)/(3x - 1) = 2; ǫ = 0,01

14. Prove que o limite é o número indicado, aplicando a definição.
(a) lim x→5 (-4) = -4
(b) lim x→-1 (5x + 8) = 3
(c) lim x→-4 (2x + 7) = -1
(d) lim x→-1 (x^2 - 1)/(x + 1) = -2
(e) lim x→-3 x^2 = 9
(f) lim x→5 (x^2 - 3x) = 10
(g) lim x→1 (3 + 2x - x^2) = 0
(h) lim x→2 (6x^2 - 13x + 5) = 3

17. Seja f a função definida por

f(x) =







x2 − 9 se x 6= −3

4 se x = −3

(a) Encontre lim
x→−3

f(x) e mostre que lim
x→−3

f(x) 6= f(−3).

(b) Faça um esboço do gráfico de f .

19. Encontre o limite lateral.

(a) lim
x→2+

(x+ 2) / (x2 − 4)

(b) lim
x→2−

(−x+ 2) / (x− 2)2

(c) lim
x→0+

√(3 + x2) / x

(d) lim
x→3+

√(x2 − 9) / (x− 3)

(e) lim
x→4−

√(16− x2) / (x− 4)

(f) lim
x→0+

(x2 − 3) / (x3 + x2)

(g) lim
x→1−

(2x3 − 5x2) / (x2 − 1)

(h) lim
x→3−

(x3 + 9x2 + 20x) / (x2 + x− 12)

21. Encontre o limite no infinito.

(a) lim
x→+∞

(2x+ 1) / (5x− 2)

(b) lim
x→+∞

(7x2 − 2x+ 1) / (3x2 + 8x+ 5)

(c) lim
x→−∞

(4x3 + 2x2 − 5) / (8x3 + x+ 2)

(d) lim
x→+∞

(3x4 − 7x2 + 2) / (2x4 + 1)

(e) lim
x→−∞

(3x+ 1 / x2)

(f) lim
x→+∞

√(x2 + 4) / (x+ 4)

(g) lim
x→−∞

√(x2 + 4) / (x+ 4)

(h) lim
x→−∞

√(x4 + 1) / (2x2 − 3)

22. Encontre o limite. (Sugestão: primeiro obtenha uma fração com um numerador racional.)

(a) lim
x→+∞

(√(x2 + 1− x))

(b) lim
x→+∞

(√(3x2 + x− 2x))

(c) lim
x→+∞

(3√(x3 + 1− x))

(d) lim
x→−∞

(3√(x3 + x− 3) / √(x3 + 1))

(e) lim
x→+∞

√(x+ √(x+ √(x) / √(x+ 1))

23. Encontre as asśıntotas horizontais e verticais e faça um esboço do gráfico da função.

(a) f(x) = (2x+ 1) / (x− 3)

(b) f(x) = 2√(x2 − 4)

(c) f(x) = −3x√(x2 + 3)

(d) f(x) = 4x2 / (x2 − 9)

(e) f(x) = 2x√(6x2 + 11x− 10)

(f) f(x) = −1√(x2 + 5x+ 6)

(g) f(x) = 4x2 / √(x2 − 2)

(h) f(x) = x / (x2 − 9)

27. Determine os valores da variável independente nos quais a função é descont́ınua.

(a) f(x) = (x2 − 3x− 4) / (x− 4)

(b) g(x) = (x4 − 16) / (x2 − 4)

(c) h(x) = (x2 − 5x+ 4) / ((x− 1)(x2 − x− 12))

(d) f(x) = 5 / (x− 4) se x 6= 4, 2 se x = 4

(e) g(x) = 1 + x se x ≤ −2, 2− x se − 2 < x ≤ 2, 2x− 1 se x > 2

(f) h(x) = √(−x) se x < 0, 3√(x+ 1) se x ≥ 0

(g) f(x) = |x+ 2| se x 6= −2, 3 se x = 2

28. Prove que a função é descont́ınua no número a e determine se a descontinuidade é remov́ıvel ou essencial. Se a descontinuidade for remov́ıvel, redefina f(a) de modo que a descontinuidade seja removida.

(a) a = 2/3; f(x) = (9x2 − 4) / (3x− 2)

(b) a = −3; f(x) = (x2 − x− 12) / (x2 + 2x− 3)

(c) a = 3; f(x) = |x− 3| se x 6= 3, 2 se x = 3

(d) a = 3; f(x) = (x2 − 4x+ 3) / (x− 3) se x 6= 3, 5 se x = 3

(e) a = 2; f(x) = x2 − 4 se x ≤ 2, x se x > 2

(f) a = 0; f(x) = √(x+ 5)− √(5) / x

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