33. A função f(x) = x^4 - 4x^2 + 2 é crescente em: A) (-∞, -1) ∪ (1, ∞) B) (-1, 1) C) (0, 2) D) Todos os reais

Para determinar em quais intervalos a função \( f(x) = x^4 - 4x^2 + 2 \) é crescente, precisamos analisar a sua derivada. Quando a derivada de uma função é positiva em um intervalo, isso indica que a função é crescente nesse intervalo. Vamos derivar a função dada: \( f(x) = x^4 - 4x^2 + 2 \) \( f'(x) = 4x^3 - 8x \) Agora, vamos encontrar os pontos críticos igualando a derivada a zero: \( 4x^3 - 8x = 0 \) \( 4x(x^2 - 2) = 0 \) \( x = 0 \) ou \( x = \pm \sqrt{2} \) Agora, podemos testar os intervalos formados pelos pontos críticos e verificar onde a função é crescente: - Para \( x < -\sqrt{2} \): Escolhendo \( x = -3 \), temos \( f'(-3) = 4(-3)^3 - 8(-3) = -108 + 24 = -84 \), ou seja, a função é decrescente nesse intervalo. - Para \( -\sqrt{2} < x < 0 \): Escolhendo \( x = -\frac{1}{2} \), temos \( f'(-\frac{1}{2}) = 4(-\frac{1}{2})^3 - 8(-\frac{1}{2}) = -1 - 4 = -5 \), ou seja, a função é decrescente nesse intervalo. - Para \( 0 < x < \sqrt{2} \): Escolhendo \( x = \frac{1}{2} \), temos \( f'(\frac{1}{2}) = 4(\frac{1}{2})^3 - 8(\frac{1}{2}) = 1 - 4 = -3 \), ou seja, a função é decrescente nesse intervalo. - Para \( x > \sqrt{2} \): Escolhendo \( x = 3 \), temos \( f'(3) = 4(3)^3 - 8(3) = 108 - 24 = 84 \), ou seja, a função é crescente nesse intervalo. Portanto, a função \( f(x) = x^4 - 4x^2 + 2 \) é crescente nos intervalos \( (-\infty, -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, \infty) \). Assim, a alternativa correta é: A) (-∞, -1) ∪ (1, ∞)