Para determinar a derivada da função \( g(t) = \frac{1}{2} (t^2 + 5)(t^6 + 4t) \), vamos aplicar a regra do produto e a regra da cadeia. 1. Identificar as funções: - \( u(t) = t^2 + 5 \) - \( v(t) = t^6 + 4t \) 2. Derivar cada função: - \( u'(t) = 2t \) - \( v'(t) = 6t^5 + 4 \) 3. Aplicar a regra do produto: \[ g'(t) = \frac{1}{2} (u'v + uv') \] Substituindo: \[ g'(t) = \frac{1}{2} \left( (2t)(t^6 + 4t) + (t^2 + 5)(6t^5 + 4) \right) \] 4. Expandir e simplificar: - Primeiro termo: \( 2t(t^6 + 4t) = 2t^7 + 8t^2 \) - Segundo termo: \( (t^2 + 5)(6t^5 + 4) = 6t^7 + 4t^2 + 30t^5 + 20 \) Juntando tudo: \[ g'(t) = \frac{1}{2} \left( 2t^7 + 8t^2 + 6t^7 + 4t^2 + 30t^5 + 20 \right) \] \[ = \frac{1}{2} \left( 8t^7 + 30t^5 + 12t^2 + 20 \right) \] \[ = 4t^7 + 15t^5 + 6t^2 + 10 \] Portanto, a derivada \( g'(t) \) é: \[ g'(t) = 4t^7 + 15t^5 + 6t^2 + 10 \] A alternativa correta é: E) g' (t)= 4t^7 + 15t^5 + 6t^2 + 10.