CONSIDERE A=2 1 3 7 QUAIS SÃO OS AUTOVALORES DE A

Para encontrar os autovalores da matriz \( A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 7 \end{pmatrix} \), precisamos calcular o determinante da matriz \( A - \lambda I \), onde \( \lambda \) é o autovalor e \( I \) é a matriz identidade. 1. A matriz \( A - \lambda I \) é: \[ A - \lambda I = \begin{pmatrix} 2 - \lambda & 1 \\ 3 & 7 - \lambda \end{pmatrix} \] 2. O determinante é dado por: \[ \text{det}(A - \lambda I) = (2 - \lambda)(7 - \lambda) - (3)(1) \] 3. Calculando o determinante: \[ (2 - \lambda)(7 - \lambda) - 3 = 14 - 9\lambda + \lambda^2 - 3 = \lambda^2 - 9\lambda + 11 \] 4. Agora, igualamos o determinante a zero para encontrar os autovalores: \[ \lambda^2 - 9\lambda + 11 = 0 \] 5. Usamos a fórmula de Bhaskara: \[ \lambda = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{9 \pm \sqrt{(-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 11}}{2 \cdot 1} \] \[ = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 44}}{2} = \frac{9 \pm \sqrt{37}}{2} \] Os autovalores de \( A \) são: \[ \lambda_1 = \frac{9 + \sqrt{37}}{2} \quad \text{e} \quad \lambda_2 = \frac{9 - \sqrt{37}}{2} \]

Para encontrar os autovalores de uma matriz, é necessário resolver a equação característica det(A - λI) = 0, onde A é a matriz dada, λ é o autovalor e I é a matriz identidade do mesmo tamanho que A. No caso da matriz A= 2 1 3 7, a equação característica seria: det(2-λ 1 3 7-λ) = 0 Calculando o determinante, temos: (2-λ)(7-λ) - 1*3 = 0 (2-λ)(7-λ) - 3 = 0 14 - 9λ - 7λ + λ^2 - 3 = 0 λ^2 - 9λ - 3 = 0 Resolvendo a equação do segundo grau, encontramos os autovalores da matriz A.