Sabendo que o volume do octaedro é 36 cm³, qual é o valor do raio da esfera inscrita no octaedro?

Para encontrar o raio da esfera inscrita em um octaedro, podemos usar a relação entre o volume do octaedro e o raio da esfera inscrita. O volume \( V \) de um octaedro regular é dado pela fórmula: \[ V = \frac{\sqrt{2}}{3} a^3 \] onde \( a \) é a aresta do octaedro. Sabendo que o volume é 36 cm³, temos: \[ 36 = \frac{\sqrt{2}}{3} a^3 \] Multiplicando ambos os lados por 3: \[ 108 = \sqrt{2} a^3 \] Agora, dividindo ambos os lados por \( \sqrt{2} \): \[ a^3 = \frac{108}{\sqrt{2}} = 54\sqrt{2} \] Para encontrar \( a \), tiramos a raiz cúbica: \[ a = (54\sqrt{2})^{1/3} \] O raio da esfera inscrita \( r \) em um octaedro é dado por: \[ r = \frac{a}{2\sqrt{2}} \] Substituindo \( a \): \[ r = \frac{(54\sqrt{2})^{1/3}}{2\sqrt{2}} \] Calculando isso, você encontrará o valor do raio da esfera inscrita. Se precisar de um valor numérico, você pode calcular \( (54\sqrt{2})^{1/3} \) e depois dividir por \( 2\sqrt{2} \).