Sejam f(x, y) = x^2y + 3xy^4, x = sen θ e y = cos θ. Então d f d θ dθ df é igual a: A) d f d θ = s e n ( 20 θ ) ( 2 x y + 3 y 4 ) + s e n ( θ ) ( x 2 + 12 x y 3 ) dθ df =sen(20θ)(2xy+3y 4 )+sen(θ)(x 2 +12xy 3 ) B) d f d θ = c o s ( 20 θ ) ( 2 x y + 3 y 4 ) − s e n ( θ ) ( x 2 + 12 x y 3 ) dθ df =cos(20θ)(2xy+3y 4 )−sen(θ)(x 2 +12xy 3 ) C) d f d θ = c o s ( 20 θ ) ( 2 x y + 3 y 4 ) − s e n ( θ ) ( 12 x y 3 ) dθ df =cos(20θ)(2xy+3y 4 )−sen(θ)(12xy 3 ) D) d f d θ = 2 c o s ( 20 θ ) ( 2 x y + 3 y 4 ) − s e n ( θ ) ( x 2 + 12 x y 3 ) dθ df =2cos(20θ)(2xy+3y 4 )−sen(θ)(x 2 +12xy 3 ) E) d f d θ = s e n ( 20 θ ) ( 2 x y + 3 y 4 ) − s e n ( θ ) ( x 2 + 12 x y 3 ) dθ df =sen(20θ)(2xy+3y 4 )−sen(θ)(x 2 +12xy 3 )

Question

Sejam f(x, y) = x^2y + 3xy^4, x = sen θ e y = cos θ. Então  d f d θ dθ df ​   é igual a:   A)  d f d θ = s e n ( 20 θ ) ( 2 x y + 3 y 4 ) + s e n (...

Ed · Answer

Para resolver a questão, precisamos calcular a derivada de $ f(x, y) = x^2y + 3xy^4 $ em relação a $ \theta $, onde $ x = \sen(\theta) $ e $ y = \cos(\theta) $.

Usamos a regra da cadeia para calcular $ \frac{df}{d\theta} $:

$$
\frac{df}{d\theta} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{dx}{d\theta} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{dy}{d\theta}
$$

Calculando as derivadas parciais:

1. $ \frac{\partial f}{\partial x} = 2xy + 3y^4 $
2. $ \frac{\partial f}{\partial y} = x^2 + 12xy^3 $

Agora, calculamos as derivadas de $ x $ e $ y $:

- $ \frac{dx}{d\theta} = \cos(\theta) $
- $ \frac{dy}{d\theta} = -\sen(\theta) $

Substituindo tudo na fórmula da regra da cadeia:

$$
\frac{df}{d\theta} = (2xy + 3y^4) \cos(\theta) + (x^2 + 12xy^3)(-\sen(\theta))
$$

Agora, substituímos $ x = \sen(\theta) $ e $ y = \cos(\theta) $:

$$
\frac{df}{d\theta} = (2(\sen(\theta))(\cos(\theta)) + 3(\cos(\theta))^4) \cos(\theta) - (\sen^2(\theta) + 12(\sen(\theta))(\cos(\theta))^3)(\sen(\theta))
$$

Agora, vamos analisar as alternativas:

A) $ \frac{df}{d\theta} = \sen(20\theta)(2xy + 3y^4) + \sen(\theta)(x^2 + 12xy^3) $

B) $ \frac{df}{d\theta} = \cos(20\theta)(2xy + 3y^4) - \sen(\theta)(x^2 + 12xy^3) $

C) $ \frac{df}{d\theta} = \cos(20\theta)(2xy + 3y^4) - \sen(\theta)(12xy^3) $

D) $ \frac{df}{d\theta} = 2\cos(20\theta)(2xy + 3y^4) - \sen(\theta)(x^2 + 12xy^3) $

E) $ \frac{df}{d\theta} = \sen(20\theta)(2xy + 3y^4) - \sen(\theta)(x^2 + 12xy^3) $

A partir da análise, a opção que se alinha com a derivada que encontramos é a B, pois ela apresenta a estrutura correta com o sinal negativo para a parte que envolve $ \sen(\theta) $.

Portanto, a alternativa correta é: **B**.

Ed IA de Studenta · Answer

Para resolver esta pregunta, primero necesitamos encontrar las derivadas parciales de $ f(x, y) = x^2y + 3xy^4 $ con respecto a $ x $ y $ y $, y luego sustituir $ x = \sin(\theta) $ y $ y = \cos(\theta) $ para poder derivar con respecto a $ \theta $.

Calculando las derivadas parciales:
$ \frac{\partial f}{\partial x} = 2xy + 3y^4 $
$ \frac{\partial f}{\partial y} = x^2 + 12xy^3 $

Sustituyendo $ x = \sin(\theta) $ y $ y = \cos(\theta) $:
$ \frac{\partial f}{\partial x} = 2\sin(\theta)\cos(\theta) + 3\cos^4(\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta) + 3\cos^4(\theta) $
$ \frac{\partial f}{\partial y} = \sin^2(\theta) + 12\sin(\theta)\cos^3(\theta) = \sin^2(\theta) + 12\sin(\theta)\cos^3(\theta) $

Finalmente, derivamos con respecto a $ \theta $ utilizando la regla de la cadena:
$ \frac{d f}{d \theta} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{d x}{d \theta} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{d y}{d \theta} $

Analizando las opciones:
A) $ \frac{d f}{d \theta} = \sin(20\theta)(2xy + 3y^4) + \sin(\theta)(x^2 + 12xy^3) $ - Incorrecta
B) $ \frac{d f}{d \theta} = \cos(20\theta)(2xy + 3y^4) - \sin(\theta)(x^2 + 12xy^3) $ - Incorrecta
C) $ \frac{d f}{d \theta} = \cos(20\theta)(2xy + 3y^4) - \sin(\theta)(12xy^3) $ - Incorrecta
D) $ \frac{d f}{d \theta} = 2\cos(20\theta)(2xy + 3y^4) - \sin(\theta)(x^2 + 12xy^3) $ - Incorrecta
E) $ \frac{d f}{d \theta} = \sin(20\theta)(2xy + 3y^4) - \sin(\theta)(x^2 + 12xy^3) $ - Correcta

Por lo tanto, la respuesta correcta es E) $ \frac{d f}{d \theta} = \sin(20\theta)(2xy + 3y^4) - \sin(\theta)(x^2 + 12xy^3) $.

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