Qual é a assíntota inclinada de f(x). Sendo f(x) = [6x^2 - x^3]^(1/3)?

O coeficiente angular da assíntota inclinada é; m = lim (x → ∞) f(x)/x, se este limite existir, for finito e diferente 0. O coeficiente linear é dado por lim (x → ∞). f(x) - mx. No caso

m =(x → ∞) ((6x² - x³)^(1/3))/x = (x → ∞) ((6x² - x³)/x³)^(1/3) = (x → ∞) (6/x - 1)^(1/3) = (-1)^(1/3) = -1.

O coeficiente linear é, então, 

p = (x → ∞) + x = lim (x → ∞) x [(6/x - 1)^(1/3) + 1] = lim (x → ∞) x[1 - (1 - 6/x)^(1/3) + 1] = lim (x → ∞) x [1 - 1/3 6/x + 1] = lim (x → ∞) x 2/x = 2.

Logo, a equação da ssíntota é y = -x + 2.

Bjs

A assíntota inclinada de \(f(x) = (6x^2 - x^3 )^{1 \over 3}\) é do seguinte formato:

\(\Longrightarrow y = kx+b\)     \((I)\)

A equação para o valor de \(k\) é:

\(\Longrightarrow k = \underset{x \to \pm \infty } \lim \, {f(x) \over x}\)

\(\Longrightarrow k = \underset{x \to \pm \infty } \lim \, { (6x^2 - x^3 )^{1 \over 3} \over x}\)

\(\Longrightarrow k = \underset{x \to \pm \infty } \lim \, { \big [ x^3({6 \over x} - 1 ) \big ]^{1 \over 3} \over x}\)

\(\Longrightarrow k = \underset{x \to \pm \infty } \lim \, { x ({6 \over x} - 1 )^{1 \over 3} \over x}\)

\(\Longrightarrow k = \underset{x \to \pm \infty } \lim \, { x ({6 \over x} - 1 )^{1 \over 3} \over x}\)

\(\Longrightarrow k = \underset{x \to \pm \infty } \lim \, ({6 \over x} - 1 )^{1 \over 3}\)

\(\Longrightarrow k = ({6 \over \infty } - 1 )^{1 \over 3}\)

\(\Longrightarrow k = (0-1)^{1 \over 3}\)

\(\Longrightarrow k = -1\)       \((II)\)

E o valor de \(b\) é:

\(\Longrightarrow b = \underset{x \to \pm \infty } \lim \, \big [ f(x) -kx \big ]\)

\(\Longrightarrow b = \underset{x \to \pm \infty } \lim \, \big [ (6x^2 - x^3 )^{1 \over 3} - (-1)x \big ]\)

\(\Longrightarrow b = \underset{x \to \pm \infty } \lim \, \big [ (6x^2 - x^3 )^{1 \over 3} +x \big ]\)

\(\Longrightarrow b = \underset{x \to \pm \infty } \lim \, \big [ x( {6 \over x} - 1 )^{1 \over 3} +x \big ]\)

\(\Longrightarrow b = \underset{x \to \pm \infty } \lim \, x \big [ ( {6 \over x} - 1 )^{1 \over 3} +1 \big ]\)

\(\Longrightarrow b = \underset{x \to \pm \infty } \lim \, { ( {6 \over x} - 1 )^{1 \over 3} +1 \over {1 \over x} } \)    \((III)\)

Substituindo \(x=\pm \infty\) na equação anterior, tem-se uma indeterminação do tipo \({0 \over 0}\). Portanto, pode-se utilizar o Teorema de L'Hôpital, cuja equação é:

\(\Longrightarrow \underset{x \to \pm \infty } \lim \, { f(x) \over g(x)} = \underset{x \to \pm \infty } \lim \, { f'(x) \over g'(x)} \)

Portanto, pela equação \((III)\), o valor de \(b\) é:

\(\Longrightarrow b = \underset{x \to \pm \infty } \lim \, { \big [ ( {6 \over x} - 1 )^{1 \over 3} +1 \big ]' \over \big [ {1 \over x} \big ] '} \)

\(\Longrightarrow b = \underset{x \to \pm \infty } \lim \, { {1 \over 3} ( {6 \over x} - 1 )^{-{2 \over 3}}\cdot ( {6 \over x} - 1 )' +0 \over -{1 \over x^{2} } } \)

\(\Longrightarrow b = \underset{x \to \pm \infty } \lim \, { {1 \over 3} ( {6 \over x} - 1 )^{-{2 \over 3}}\cdot \big ( -{6 \over x^2} - 0 \big ) \over -{1 \over x^{2} } } \)

\(\Longrightarrow b = \underset{x \to \pm \infty } \lim \, { -{6 \over 3} ( {6 \over x} - 1 )^{-{2 \over 3}} \over -{1 \over x^{2} } } {1 \over x^2 }\)

\(\Longrightarrow b = \underset{x \to \pm \infty } \lim \, 2 \cdot ( {6 \over x} - 1 )^{-{2 \over 3}}\)

\(\Longrightarrow b = 2 \cdot ( {6 \over \infty } - 1 )^{-{2 \over 3}}\)

\(\Longrightarrow b = 2 \cdot( 0 - 1 )^{-{2 \over 3}}\)

\(\Longrightarrow b = 2 \cdot 1\)

\(\Longrightarrow b = 2\)      \((IV)\)

Substituindo as equações \((II)\) e \((IV)\) na equação \((I)\), o resultado final é:

\(\Longrightarrow y = kx+b\)

\(\Longrightarrow \fbox {$ y = -x+2 $}\)