Questão de limite: quando x tende a +infinito?

É meio complicada essa resposta mas vamos lá;

1º multiplique o denominador (1) e o nominador ((x² + x)^1/2) - x) por ((x² + x)^1/2) + x);

2º faça a distributiva no nominador, resultando em (x) / ((x² + x)^1/2) + x);

3º divida todos os termos por x, resultando em 1 / (1 + ((x² + x)^1/2)/x);

4º o limite do quocientes é o quociente dos limites e o limite de uma constante é ela própria, resultando em

1 / (1 + (lim x->+∞ (((x² + x)^1/2)/x));

5º simplifique o radical dentro do limite e escreva lim->+∞ (((x² + x)^1/2)/x)) como ( lim->+∞ (x² + x)/x² )^1/2

6º esse limite é facil de resolver, você pode usar l'hospital pois é uma indeterminação ∞/∞

7º resolvendo fica : (lim->+∞ (1+1/2x))^1/2 que é igual a 1

logo, 

lim x-> +∞ ((x²+x)^1/2) - x = 1 / 1+1 = 1/2 

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