1.2 Descreva o sólido que satisfaz a condição x2 + y2 + z2 ≤ 36.

Questões para o Sucesso

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caderno de exercícios 1 - cálculo II

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O sólido que satisfaz a condição \(x^2 + y^2 + z^2 \leq 36\) é uma esfera de raio 6, centrada na origem (0, 0, 0) do espaço tridimensional. Isso porque a equação \(x^2 + y^2 + z^2 = 36\) representa a superfície da esfera, e a desigualdade \( \leq 36\) indica que estamos considerando todos os pontos dentro e na superfície dessa esfera.

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1.1 Complete os quadrados para obter a equação canônica da esfera x2 + y2 + z2 − 2 x + 6 y + 8 z + 1 = 0. Determine o centro e o raio.

1.9 Determine ~r (t) sabendo que d~r/dt = t2 ~i + 4 t3 ~j − t2 ~k e ~r (0) = ~j.

1.10 Esboce o gráfico da curva r(t) = (t3, t2), t ∈ R. Indique com setas a direção de crescimento do parâmetro t.

1.11 Sejam r(t) = (t, 2sen(t), 2 cos(t)) e u(t) = (1/t, 2sen(t), 2 cos(t)) para t > 0. Usando as propriedades de derivada, calcule: (a) d/dt [r(t) · u(t)].

1.12 Determine se as afirmacoes abaixo são verdadeiras ou falsas. Em qualquer um dos casos, explique. (a) Se r(t) · r(t) é constante então r · dr/dt = 0.

Cálculo

1.2 Descreva o sólido que satisfaz a condição x2 + y2 + z2 ≤ 36.

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1.1 Complete os quadrados para obter a equação canônica da esfera x2 + y2 + z2 − 2 x + 6 y + 8 z + 1 = 0. Determine o centro e o raio.

1.9 Determine ~r (t) sabendo que d~r/dt = t2 ~i + 4 t3 ~j − t2 ~k e ~r (0) = ~j.

1.10 Esboce o gráfico da curva r(t) = (t3, t2), t ∈ R. Indique com setas a direção de crescimento do parâmetro t.

1.11 Sejam r(t) = (t, 2sen(t), 2 cos(t)) e u(t) = (1/t, 2sen(t), 2 cos(t)) para t > 0. Usando as propriedades de derivada, calcule: (a) d/dt [r(t) · u(t)].

1.12 Determine se as afirmacoes abaixo são verdadeiras ou falsas. Em qualquer um dos casos, explique. (a) Se r(t) · r(t) é constante então r · dr/dt = 0.

1.13 (a) Qual a relação entre o vetor tangente unitário e a orientação da curva? Explique.

1.13 (b) Determine o vetor tangente unitário à curva representada por r(t) = et cos(t)~i + et~j no ponto t = 0.

1.14 (a) Defina a função comprimento de arco de uma curva espacial. Calcule a sua derivada;

1.14 (b) Explique como podemos parametrizar uma curva com relação ao comprimento de arco. Dê um exemplo.

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