1.14 (a) Defina a função comprimento de arco de uma curva espacial. Calcule a sua derivada;

A função comprimento de arco de uma curva espacial é definida como a integral do módulo da derivada da curva em relação a um parâmetro. Se a curva é dada por \(\mathbf{r}(t) = (x(t), y(t), z(t))\), o comprimento de arco \(s\) de \(t_0\) a \(t\) é: \[ s(t) = \int_{t_0}^{t} \|\mathbf{r}'(u)\| \, du \] onde \(\|\mathbf{r}'(u)\|\) é o módulo da derivada da curva, calculado como: \[ \|\mathbf{r}'(u)\| = \sqrt{\left(\frac{dx}{du}\right)^2 + \left(\frac{dy}{du}\right)^2 + \left(\frac{dz}{du}\right)^2} \] Para calcular a derivada do comprimento de arco em relação ao parâmetro \(t\), aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo: \[ \frac{ds}{dt} = \|\mathbf{r}'(t)\| \] Assim, a derivada do comprimento de arco em relação ao parâmetro é o módulo da derivada da curva no ponto \(t\).