A área definida pela equação ρ =cos 3θ, para o intervalo 0 < θ < κ, com κ > 0, vale π16. Qual é o valor de κ? π4 π16 π8 π32 π2

Para encontrar o valor de \( \kappa \) na equação \( \rho = \cos(3\theta) \) e o intervalo \( 0 < \theta < \kappa \), precisamos calcular a área definida por essa curva polar. A área \( A \) em coordenadas polares é dada por: \[ A = \frac{1}{2} \int_{\alpha}^{\beta} \rho^2 \, d\theta \] Substituindo \( \rho = \cos(3\theta) \): \[ A = \frac{1}{2} \int_{0}^{\kappa} \cos^2(3\theta) \, d\theta \] Usando a identidade \( \cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2} \): \[ A = \frac{1}{2} \int_{0}^{\kappa} \frac{1 + \cos(6\theta)}{2} \, d\theta \] \[ A = \frac{1}{4} \int_{0}^{\kappa} (1 + \cos(6\theta)) \, d\theta \] Calculando a integral: \[ A = \frac{1}{4} \left[ \theta + \frac{1}{6} \sin(6\theta) \right]_{0}^{\kappa} \] \[ A = \frac{1}{4} \left( \kappa + \frac{1}{6} \sin(6\kappa) \right) \] Sabemos que essa área é igual a \( \frac{\pi}{16} \): \[ \frac{1}{4} \left( \kappa + \frac{1}{6} \sin(6\kappa) \right) = \frac{\pi}{16} \] Multiplicando ambos os lados por 4: \[ \kappa + \frac{1}{6} \sin(6\kappa) = \frac{\pi}{4} \] Agora, para encontrar \( \kappa \), podemos testar as opções dadas. Testando \( \kappa = \frac{\pi}{4} \): \[ \sin(6 \cdot \frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{3\pi}{2}) = -1 \] Substituindo: \[ \frac{\pi}{4} + \frac{1}{6}(-1) = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{6} \] Calculando: \[ \frac{\pi}{4} - \frac{1}{6} = \frac{3\pi - 2}{12} \] Isso não é igual a \( \frac{\pi}{4} \). Testando \( \kappa = \frac{\pi}{8} \): \[ \sin(6 \cdot \frac{\pi}{8}) = \sin(\frac{3\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \] Substituindo: \[ \frac{\pi}{8} + \frac{1}{6} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \] Isso também não é igual a \( \frac{\pi}{4} \). Após testar as opções, a correta é \( \kappa = \frac{\pi}{2} \), pois: \[ \sin(6 \cdot \frac{\pi}{2}) = 0 \] Assim, a resposta correta é: \( \kappa = \frac{\pi}{2} \).