Para resolver essa questão, precisamos encontrar a matriz que transforma os vetores dados e, em seguida, aplicar essa matriz ao vetor (3,1). Vamos considerar a matriz \( A \) que leva os vetores: 1. \( A \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \) 2. \( A \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \) Podemos escrever a matriz \( A \) como: \[ A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\ e & f \end{pmatrix} \] Agora, usando as transformações: 1. Para o primeiro vetor: \[ A \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a + b \\ c + d \\ e + f \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \] Isso nos dá as equações: - \( a + b = 1 \) (1) - \( c + d = 1 \) (2) - \( e + f = 1 \) (3) 2. Para o segundo vetor: \[ A \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a - b \\ c - d \\ e - f \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \] Isso nos dá as equações: - \( a - b = 1 \) (4) - \( c - d = 2 \) (5) - \( e - f = 1 \) (6) Agora, resolvendo as equações: Da (1) e (4): - \( a + b = 1 \) - \( a - b = 1 \) Somando as duas: \[ 2a = 2 \implies a = 1 \implies b = 0 \] Da (2) e (5): - \( c + d = 1 \) - \( c - d = 2 \) Somando as duas: \[ 2c = 3 \implies c = \frac{3}{2} \implies d = -\frac{1}{2} \] Da (3) e (6): - \( e + f = 1 \) - \( e - f = 1 \) Somando as duas: \[ 2e = 2 \implies e = 1 \implies f = 0 \] Portanto, a matriz \( A \) é: \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \] Agora, aplicamos \( A \) ao vetor \( (3,1) \): \[ A \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 3 + 0 \cdot 1 \\ \frac{3}{2} \cdot 3 - \frac{1}{2} \cdot 1 \\ 1 \cdot 3 + 0 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ \frac{9}{2} - \frac{1}{2} \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix} \] Portanto, o vetor em que o vetor \( (3,1) \) é levado é \( (3,4,3) \). A alternativa correta é: B) (3,4,3).