Para encontrar a equação característica da equação diferencial dada: \[ \frac{d^2y}{dt^2} + 4\frac{dy}{dt} + 4y = 0 \] Primeiro, vamos escrever a equação característica associada, que é obtida substituindo \( y = e^{rt} \): \[ r^2 + 4r + 4 = 0 \] Resolvendo essa equação, podemos fatorá-la: \[ (r + 2)^2 = 0 \] Isso nos dá uma raiz dupla: \[ r = -2 \] Agora, a solução geral para uma equação diferencial com raízes duplas é dada por: \[ y(t) = (C_1 + C_2 t)e^{-2t} \] Analisando as alternativas: A) \( y(t) = (C_1 + tC_2)e^{76} \) - Incorreta. B) \( y(t) = (C_1 + tC_2)e^{-2} \) - Incorreta. C) \( y(t) = (C_1 + C_2)e^{-2t} \) - Incorreta. D) \( y(t) = (C_1 + tC_2)e^{-2t} \) - Correta. Portanto, a alternativa correta é a D.