Para resolver essa questão, precisamos entender que a reta \(y = mx + 2\) é tangente à circunferência dada pela equação \((x - 4)^2 + y^2 = 4\). 1. Identificar a circunferência: A circunferência tem centro em \(C(4, 0)\) e raio \(r = 2\). 2. Substituir a equação da reta na circunferência: Substituímos \(y\) na equação da circunferência: \[ (x - 4)^2 + (mx + 2)^2 = 4 \] 3. Expandir e simplificar: \[ (x - 4)^2 + (mx + 2)^2 = 4 \] \[ (x - 4)^2 + (m^2x^2 + 4mx + 4) = 4 \] \[ x^2 - 8x + 16 + m^2x^2 + 4mx + 4 = 4 \] \[ (1 + m^2)x^2 + (-8 + 4m)x + 16 = 0 \] 4. Condição de tangência: Para a reta ser tangente à circunferência, o discriminante da equação quadrática deve ser igual a zero: \[ b^2 - 4ac = 0 \] Onde \(a = 1 + m^2\), \(b = -8 + 4m\) e \(c = 16\). Calculando o discriminante: \[ (-8 + 4m)^2 - 4(1 + m^2)(16) = 0 \] \[ (64 - 64m + 16m^2) - 64 - 64m^2 = 0 \] \[ -48m^2 - 128m = 0 \] \[ m(-48m - 128) = 0 \] 5. Soluções: - \(m = 0\) - \(-48m - 128 = 0 \Rightarrow m = -\frac{128}{48} = -\frac{8}{3}\) 6. Soma dos valores de \(m\): \[ 0 + \left(-\frac{8}{3}\right) = -\frac{8}{3} \] Analisando as alternativas, a soma dos possíveis valores de \(m\) é: C) \(-\frac{4}{3}\) (não é a resposta correta) D) \(-\frac{3}{4}\) (não é a resposta correta) E) \(2\) (não é a resposta correta) Portanto, a soma correta dos possíveis valores de \(m\) não está nas opções apresentadas. Você pode verificar se há um erro nas alternativas ou se a questão foi transcrita corretamente.