Qual é o valor de \int_0^1 (x^2 + 2x + 1) \, dx? a) \frac{4}{3} b) \frac{5}{3} c) 1 d) \frac{3}{2}

Para calcular a integral \(\int_0^1 (x^2 + 2x + 1) \, dx\), vamos primeiro simplificar a expressão. A função \(x^2 + 2x + 1\) pode ser reescrita como \((x + 1)^2\). Agora, vamos calcular a integral: \[ \int_0^1 (x^2 + 2x + 1) \, dx = \int_0^1 (x + 1)^2 \, dx \] Calculando a integral: 1. A integral de \((x + 1)^2\) é: \[ \int (x + 1)^2 \, dx = \frac{(x + 1)^3}{3} + C \] 2. Avaliando de 0 a 1: \[ \left[ \frac{(x + 1)^3}{3} \right]_0^1 = \frac{(1 + 1)^3}{3} - \frac{(0 + 1)^3}{3} = \frac{2^3}{3} - \frac{1^3}{3} = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3} \] Parece que houve um erro na simplificação. Vamos calcular diretamente a integral original: \[ \int_0^1 (x^2 + 2x + 1) \, dx = \int_0^1 x^2 \, dx + \int_0^1 2x \, dx + \int_0^1 1 \, dx \] Calculando cada parte: 1. \(\int_0^1 x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1}{3}\) 2. \(\int_0^1 2x \, dx = 2 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^1 = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1\) 3. \(\int_0^1 1 \, dx = [x]_0^1 = 1\) Agora somando tudo: \[ \frac{1}{3} + 1 + 1 = \frac{1}{3} + \frac{3}{3} + \frac{3}{3} = \frac{7}{3} \] Parece que não temos essa opção. Vamos revisar as alternativas: a) \(\frac{4}{3}\) b) \(\frac{5}{3}\) c) \(1\) d) \(\frac{3}{2}\) Nenhuma das alternativas corresponde ao resultado correto de \(\frac{7}{3}\). Portanto, a resposta correta não está entre as opções fornecidas. Você pode querer verificar a questão ou as alternativas.