Calcule a integral definida \( \int_{0}^{1} (6x^2 - 4x + 1) \, dx \). A) \( \frac{1}{3} \) B) \( \frac{2}{3} \) C) \( 1 \) D) \( \frac{5}{6} \)
Respostas
Ed 
ano passado
Para calcular a integral definida \( \int_{0}^{1} (6x^2 - 4x + 1) \, dx \), vamos primeiro encontrar a antiderivada da função \( 6x^2 - 4x + 1 \). 1. A antiderivada de \( 6x^2 \) é \( 2x^3 \). 2. A antiderivada de \( -4x \) é \( -2x^2 \). 3. A antiderivada de \( 1 \) é \( x \). Assim, a antiderivada completa é: \[ F(x) = 2x^3 - 2x^2 + x \] Agora, vamos calcular a integral definida de \( 0 \) a \( 1 \): \[ \int_{0}^{1} (6x^2 - 4x + 1) \, dx = F(1) - F(0) \] Calculando \( F(1) \): \[ F(1) = 2(1)^3 - 2(1)^2 + (1) = 2 - 2 + 1 = 1 \] Calculando \( F(0) \): \[ F(0) = 2(0)^3 - 2(0)^2 + (0) = 0 \] Portanto: \[ \int_{0}^{1} (6x^2 - 4x + 1) \, dx = 1 - 0 = 1 \] A resposta correta é: C) \( 1 \)
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