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Cálculo Diferencial

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Sobre a aplicação do Teorema de Fubini em integrais de duas variáveis, analise as afirmativas a seguir: I. O Teorema de Fubini permite a troca da ordem de integração de uma integral dupla quando a função é contínua em um domínio retangular. II. Para aplicar o Teorema de Fubini em domínios não retangulares, a função deve ser contínua em toda a região de integração. III. O Teorema de Fubini é aplicável apenas a domínios retangulares, pois a troca da ordem de integração não é garantida em domínios mais complexos. IV. A troca da ordem de integração pode simplificar o cálculo de integrais duplas, especialmente quando os limites de integração são mais facilmente manipuláveis em uma ordem específica. É correto o que se afirma em:

A I, II e IV, apenas.
B I, II e III, apenas.
C I e IV, apenas.
D II e III, apenas.
E III e IV, apenas.

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Vamos analisar cada afirmativa sobre o Teorema de Fubini: I. O Teorema de Fubini permite a troca da ordem de integração de uma integral dupla quando a função é contínua em um domínio retangular. Verdadeiro, essa afirmativa está correta. II. Para aplicar o Teorema de Fubini em domínios não retangulares, a função deve ser contínua em toda a região de integração. Verdadeiro, essa afirmativa também está correta, pois a continuidade em toda a região é necessária para garantir a troca da ordem de integração. III. O Teorema de Fubini é aplicável apenas a domínios retangulares, pois a troca da ordem de integração não é garantida em domínios mais complexos. Falso, o Teorema de Fubini pode ser aplicado a domínios não retangulares, desde que a função seja contínua na região de integração. IV. A troca da ordem de integração pode simplificar o cálculo de integrais duplas, especialmente quando os limites de integração são mais facilmente manipuláveis em uma ordem específica. Verdadeiro, essa afirmativa está correta. Agora, vamos ver quais alternativas contêm apenas as afirmativas verdadeiras: - A) I, II e IV, apenas. (Correta) - B) I, II e III, apenas. (Incorreta, III é falsa) - C) I e IV, apenas. (Correta, mas não inclui II) - D) II e III, apenas. (Incorreta, III é falsa) - E) III e IV, apenas. (Incorreta, III é falsa) A alternativa que contém todas as afirmativas verdadeiras é: A I, II e IV, apenas.

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Sobre o exposto, analise as afirmativas a seguir: I. A região R possui em uma das limitações uma circunferência de equação x² + y² = 3, limitada no semiplano superior. II. Realizando a mudança de variável sobre a região R, teremos o raio variando em 1 ≤ r ≤ 3 e o ângulo 0 ≤ θ ≤ π. III. O Jacobiano para a mudança de coordenadas cartesianas (x, y) para coordenadas polares (θ, r) é r. IV. A circunferência de equação x² + y² = 1 delimita uma das fronteiras da região R, que está restrita ao semiplano superior. É correto o que se afirma em:

A II e IV, apenas.
B I, II e III, apenas.
C I e III, apenas.
D I, II e IV, apenas.
E III e IV, apenas.

Dessa forma, seja a região D delimitada pelas curvas y = 2x² e y = 6x, avalie as asserções a seguir e a relação proposta entre elas: I. Podemos determinar a área delimitada região D utilizando uma integral dupla, o qual resultará em 6. PORQUE II. Considerando f(x, y) = 1, a área de região D pode ser determinada pela integral dupla A respeito dessas asserções, assinale a opção correta:

A A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.
B As asserções I e II são falsas.
C A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
D As asserções I e II são verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
E As asserções I e II são verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.

Dessa forma, seja a região definida por Dxy = {(x, y) ∈ R : 0 ≤ x ≤ 2 e 0 ≤ y ≤ 1} e a função f(x, y) = y²x, avalie as asserções a seguir e a relação proposta entre elas: I. O volume do sólido acima da região D e abaixo da função f é 2/3. PORQUE II. Pelos dados fornecidos, a integral que resolve o volume deste sólido é definida por: A respeito dessas asserções, assinale a opção correta:

A A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.
B As asserções I e II são falsas.
C As asserções I e II são verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
D A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
E As asserções I e II são verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.

Sobre esses parâmetros, assinale a alternativa correta:

A As coordenadas cilíndricas utilizam os parâmetros raio, ângulo e profundidade.
B As coordenadas cilíndricas são descritas pelos parâmetros distância radial, ângulo azimutal e altura.
C Em coordenadas cilíndricas, os parâmetros são o comprimento radial, o ângulo de inclinação e a altura.
D Em coordenadas cilíndricas, os parâmetros são o ângulo azimutal, o raio radial e a coordenada vertical.
E As coordenadas cilíndricas são definidas pelos parâmetros raio, ângulo e altura.

Considere uma integral tripla em que D é uma região tridimensional no primeiro octante delimitada pelos planos x = 0, y = 0, z = 0 e pela superfície x² + y² + z² = 4. Nesse sentido, avalie as asserções a seguir e a relação proposta entre elas: I. A mudança para coordenadas esféricas simplifica a integral tripla ao expressar a região D. PORQUE II. Pela equação da superfície apresentada, temos uma parte de uma esfera de raio igual a 4. A respeito dessas asserções, assinale a opção correta:

A A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.
B As asserções I e II são verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
C As asserções I e II são verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.
D As asserções I e II são falsas.
E A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.

Considere a região D delimitada pelo eixo das abscissas e pelas retas y = x e x + 2y = 3. Dessa forma, sobre essa região D e a função f(x, y) = 2xy² e as relações entre a área de D e o sólido gerado sobre a região D e abaixo da superfície definido em f, analise as afirmativas a seguir: I. A região D possui área igual a 5/2. II. A área da região D pode ser determinado pela integral dupla com 0 ≤ y ≤ 1, y ≤ x ≤ 3 – 2y e aplicando f(x, y) = 1. III. Para determinar o volume do sólido gerado pelo tipo I nas integrais duplas, há a necessidade de separar a integral em duas partes. IV. O volume do sólido gerado sobre a região D e abaixo da superfície definido em f é igual a 3/5. É correto o que se afirma em:

A II, III e IV, apenas.
B I e IV, apenas.
C III e IV, apenas.
D I, II e III, apenas.
E II e III, apenas.

Sobre o Teorema de Fubini aplicado a integrais de duas variáveis, analise as afirmativas a seguir: I. O Teorema de Fubini só é aplicável em domínios retangulares quando a função é contínua em todo o domínio. II. Em problemas práticos, como o cálculo de áreas e volumes, a troca da ordem de integração pode ser utilizada para simplificar os limites de integração e facilitar o cálculo. III. O Teorema de Fubini é restrito a integrais duplas e não pode ser estendido a integrais triplas ou de ordem superior. IV. Para aplicar o Teorema de Fubini em um domínio que não seja retangular, a função precisa ser contínua em todo o domínio, mas a ordem de integração ainda pode ser trocada. É correto o que se afirma em:

A I e IV, apenas.
B II e IV, apenas.
C III e IV, apenas.
D I, II e III, apenas.
E II e III, apenas.

Sobre o exposto, analise as afirmativas a seguir: I. A equação de formato x² + y² + z² = 9 representa uma esfera de raio 3. II. A região delimitada acima do plano xy, pela equação z² + y² = 1, com 0 ≤ x ≤ 2, representa um semicilindro. III. Seja uma região D definida por 1 ≤ x² + y² ≤ 3, logo, ela é delimitada por dois círculos concêntricos de raios 1 e 3. IV. A função f(x, y) = √(x²+y²) representa geometricamente um cone. É correto o que se afirma em:

A III e IV, apenas.
B I, II e III, apenas.
C I e IV, apenas.
D II e III, apenas.
E I, II e IV, apenas.