Grátis: Sobre o exposto, analise as afirmativas a seguir: I. A equação de formato x² + y² + z² = 9 representa uma esfera de raio 3. II. A região delimitada... – Questões Respondidas

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Sobre o exposto, analise as afirmativas a seguir: I. A equação de formato x² + y² + z² = 9 representa uma esfera de raio 3. II. A região delimitada acima do plano xy, pela equação z² + y² = 1, com 0 ≤ x ≤ 2, representa um semicilindro. III. Seja uma região D definida por 1 ≤ x² + y² ≤ 3, logo, ela é delimitada por dois círculos concêntricos de raios 1 e 3. IV. A função f(x, y) = √(x²+y²) representa geometricamente um cone. É correto o que se afirma em:

A III e IV, apenas.
B I, II e III, apenas.
C I e IV, apenas.
D II e III, apenas.
E I, II e IV, apenas.

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Vamos analisar cada afirmativa: I. A equação de formato \(x² + y² + z² = 9\) representa uma esfera de raio 3. Verdadeiro, pois a equação da esfera é dada por \(x² + y² + z² = r²\), onde \(r\) é o raio. Aqui, \(r = 3\). II. A região delimitada acima do plano xy, pela equação \(z² + y² = 1\), com \(0 ≤ x ≤ 2\), representa um semicilindro. Falso, a equação \(z² + y² = 1\) representa um cilindro circular, e não um semicilindro. A região acima do plano xy seria um cilindro completo, não semicilíndrico. III. Seja uma região D definida por \(1 ≤ x² + y² ≤ 3\), logo, ela é delimitada por dois círculos concêntricos de raios 1 e 3. Verdadeiro, pois a desigualdade representa a área entre dois círculos concêntricos. IV. A função \(f(x, y) = √(x²+y²)\) representa geometricamente um cone. Verdadeiro, pois essa função representa a distância do ponto \((x, y)\) até a origem, formando um cone em três dimensões. Agora, vamos compilar as afirmativas verdadeiras: - I: Verdadeira - II: Falsa - III: Verdadeira - IV: Verdadeira Portanto, as afirmativas corretas são I, III e IV. A alternativa que contém todas as afirmativas verdadeiras é: A III e IV, apenas.

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Sobre o exposto, analise as afirmativas a seguir: I. A região R possui em uma das limitações uma circunferência de equação x² + y² = 3, limitada no semiplano superior. II. Realizando a mudança de variável sobre a região R, teremos o raio variando em 1 ≤ r ≤ 3 e o ângulo 0 ≤ θ ≤ π. III. O Jacobiano para a mudança de coordenadas cartesianas (x, y) para coordenadas polares (θ, r) é r. IV. A circunferência de equação x² + y² = 1 delimita uma das fronteiras da região R, que está restrita ao semiplano superior. É correto o que se afirma em:

A II e IV, apenas.
B I, II e III, apenas.
C I e III, apenas.
D I, II e IV, apenas.
E III e IV, apenas.

Dessa forma, seja a região D delimitada pelas curvas y = 2x² e y = 6x, avalie as asserções a seguir e a relação proposta entre elas: I. Podemos determinar a área delimitada região D utilizando uma integral dupla, o qual resultará em 6. PORQUE II. Considerando f(x, y) = 1, a área de região D pode ser determinada pela integral dupla A respeito dessas asserções, assinale a opção correta:

A A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.
B As asserções I e II são falsas.
C A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
D As asserções I e II são verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
E As asserções I e II são verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.

Sobre a aplicação do Teorema de Fubini em integrais de duas variáveis, analise as afirmativas a seguir: I. O Teorema de Fubini permite a troca da ordem de integração de uma integral dupla quando a função é contínua em um domínio retangular. II. Para aplicar o Teorema de Fubini em domínios não retangulares, a função deve ser contínua em toda a região de integração. III. O Teorema de Fubini é aplicável apenas a domínios retangulares, pois a troca da ordem de integração não é garantida em domínios mais complexos. IV. A troca da ordem de integração pode simplificar o cálculo de integrais duplas, especialmente quando os limites de integração são mais facilmente manipuláveis em uma ordem específica. É correto o que se afirma em:

A I, II e IV, apenas.
B I, II e III, apenas.
C I e IV, apenas.
D II e III, apenas.
E III e IV, apenas.

Dessa forma, seja a região definida por Dxy = {(x, y) ∈ R : 0 ≤ x ≤ 2 e 0 ≤ y ≤ 1} e a função f(x, y) = y²x, avalie as asserções a seguir e a relação proposta entre elas: I. O volume do sólido acima da região D e abaixo da função f é 2/3. PORQUE II. Pelos dados fornecidos, a integral que resolve o volume deste sólido é definida por: A respeito dessas asserções, assinale a opção correta:

A A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.
B As asserções I e II são falsas.
C As asserções I e II são verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
D A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
E As asserções I e II são verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.

Sobre esses parâmetros, assinale a alternativa correta:

A As coordenadas cilíndricas utilizam os parâmetros raio, ângulo e profundidade.
B As coordenadas cilíndricas são descritas pelos parâmetros distância radial, ângulo azimutal e altura.
C Em coordenadas cilíndricas, os parâmetros são o comprimento radial, o ângulo de inclinação e a altura.
D Em coordenadas cilíndricas, os parâmetros são o ângulo azimutal, o raio radial e a coordenada vertical.
E As coordenadas cilíndricas são definidas pelos parâmetros raio, ângulo e altura.

Considere uma integral tripla em que D é uma região tridimensional no primeiro octante delimitada pelos planos x = 0, y = 0, z = 0 e pela superfície x² + y² + z² = 4. Nesse sentido, avalie as asserções a seguir e a relação proposta entre elas: I. A mudança para coordenadas esféricas simplifica a integral tripla ao expressar a região D. PORQUE II. Pela equação da superfície apresentada, temos uma parte de uma esfera de raio igual a 4. A respeito dessas asserções, assinale a opção correta:

A A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.
B As asserções I e II são verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
C As asserções I e II são verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.
D As asserções I e II são falsas.
E A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.

Considere a região D delimitada pelo eixo das abscissas e pelas retas y = x e x + 2y = 3. Dessa forma, sobre essa região D e a função f(x, y) = 2xy² e as relações entre a área de D e o sólido gerado sobre a região D e abaixo da superfície definido em f, analise as afirmativas a seguir: I. A região D possui área igual a 5/2. II. A área da região D pode ser determinado pela integral dupla com 0 ≤ y ≤ 1, y ≤ x ≤ 3 – 2y e aplicando f(x, y) = 1. III. Para determinar o volume do sólido gerado pelo tipo I nas integrais duplas, há a necessidade de separar a integral em duas partes. IV. O volume do sólido gerado sobre a região D e abaixo da superfície definido em f é igual a 3/5. É correto o que se afirma em:

A II, III e IV, apenas.
B I e IV, apenas.
C III e IV, apenas.
D I, II e III, apenas.
E II e III, apenas.

Sobre o Teorema de Fubini aplicado a integrais de duas variáveis, analise as afirmativas a seguir: I. O Teorema de Fubini só é aplicável em domínios retangulares quando a função é contínua em todo o domínio. II. Em problemas práticos, como o cálculo de áreas e volumes, a troca da ordem de integração pode ser utilizada para simplificar os limites de integração e facilitar o cálculo. III. O Teorema de Fubini é restrito a integrais duplas e não pode ser estendido a integrais triplas ou de ordem superior. IV. Para aplicar o Teorema de Fubini em um domínio que não seja retangular, a função precisa ser contínua em todo o domínio, mas a ordem de integração ainda pode ser trocada. É correto o que se afirma em:

A I e IV, apenas.
B II e IV, apenas.
C III e IV, apenas.
D I, II e III, apenas.
E II e III, apenas.