53. (EEAr – 2011) A função definida por ???? = ????(???? − 1) + 3 − ????, ???? ∈ ℝ, será crescente, se: A) ???? ≥ 0 B) ???? > 1 C) −1 < ???? < 1 D) −1 < ???? ≤ 0

Para determinar quando a função \( f(x) = ax(x - 1) + 3 - b \) é crescente, precisamos analisar a derivada da função. 1. Derivada da função: A função é do tipo quadrática, e sua derivada é dada por: \[ f'(x) = a(2x - 1) \] 2. Condições para ser crescente: A função será crescente quando \( f'(x) \geq 0 \). Isso ocorre quando: \[ a(2x - 1) \geq 0 \] 3. Analisando a derivada: - Se \( a > 0 \), a função será crescente para \( x \geq \frac{1}{2} \). - Se \( a < 0 \), a função será crescente para \( x \leq \frac{1}{2} \). - Se \( a = 0 \), a função é constante. Dessa forma, a função é crescente se \( a \geq 0 \). Portanto, a alternativa correta é: A) \( a \geq 0 \).