610. (EEAr – 2014) Se a distância entre ????(2√3, ????) e ????(4√3, 1) é 4, o valor de ???? pode ser A) 1. B) 0. C) −1. D) −2.

Para resolver a questão, vamos usar a fórmula da distância entre dois pontos \( A(x_1, y_1) \) e \( B(x_2, y_2) \): \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \] Neste caso, temos os pontos \( A(2\sqrt{3}, y) \) e \( B(4\sqrt{3}, 1) \), e a distância \( d = 4 \). Substituindo na fórmula: \[ 4 = \sqrt{(4\sqrt{3} - 2\sqrt{3})^2 + (1 - y)^2} \] Simplificando: \[ 4 = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + (1 - y)^2} \] \[ 4 = \sqrt{12 + (1 - y)^2} \] Elevando ambos os lados ao quadrado: \[ 16 = 12 + (1 - y)^2 \] \[ (1 - y)^2 = 4 \] Agora, tiramos a raiz quadrada: \[ 1 - y = 2 \quad \text{ou} \quad 1 - y = -2 \] Resolvendo as duas equações: 1. \( 1 - y = 2 \) → \( y = -1 \) 2. \( 1 - y = -2 \) → \( y = 3 \) Agora, analisando as alternativas: A) 1. B) 0. C) −1. D) −2. A única opção que corresponde ao valor encontrado é a alternativa C) −1. Portanto, a resposta correta é: C) −1.