Vamos analisar a função \( f(x) = \frac{1}{2} + \cos\left(\frac{\pi x}{4}\right) \). 1. A) existe \( x \in [-3, -2] \) tal que \( f(x) = 0 \): - Para \( f(x) = 0 \), temos \( \frac{1}{2} + \cos\left(\frac{\pi x}{4}\right) = 0 \). - Isso implica que \( \cos\left(\frac{\pi x}{4}\right) = -\frac{1}{2} \). - O cosseno é igual a \(-\frac{1}{2}\) em \( \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \) e \( \frac{4\pi}{3} + 2k\pi \). Precisamos verificar se existe um \( x \) no intervalo \([-3, -2]\) que satisfaça isso. - Após cálculos, encontramos que existe um \( x \) nesse intervalo que satisfaz a equação. 2. B) \( f \) é injetora: - A função \( f(x) \) não é injetora, pois a função cosseno é periódica e, portanto, não pode ser injetora. 3. C) existe \( f^{-1}: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) tal que \( (f^{-1})'(y) \cdot f'(x) = 1 \): - Isso é verdade para funções que têm uma inversa, mas como \( f \) não é injetora, não podemos afirmar isso. 4. D) \( f \) é ímpar: - Para verificar se \( f \) é ímpar, precisamos ver se \( f(-x) = -f(x) \). Isso não é verdade para a função dada. Portanto, a alternativa correta é: A) existe \( x \in [-3, -2] \) tal que \( f(x) = 0.