Para resolver essa questão, precisamos entender como a rotação de vetores funciona no plano. Os vetores dados são: - \( \mathbf{u} = (x, 2y) \) - \( \mathbf{v} = (-x, 3y) \) Quando rotacionamos um vetor em um ângulo \( \theta \), a nova posição do vetor é dada pela fórmula: \[ \mathbf{u'} = \begin{pmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) \\ \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ 2y \end{pmatrix} \] Para o vetor \( \mathbf{v} \), a rotação será a mesma, então: \[ \mathbf{v'} = \begin{pmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) \\ \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -x \\ 3y \end{pmatrix} \] Agora, precisamos calcular a nova posição de \( \mathbf{v} \) após a rotação. Vamos analisar as alternativas: A) \( \mathbf{v'} = (2x\sqrt{2}, y\sqrt{2}) \) B) \( \mathbf{v'} = (-2x\sqrt{2}, -y\sqrt{2}) \) C) \( \mathbf{v'} = (2x\sqrt{2}, -y\sqrt{2}) \) D) \( \mathbf{v'} = (-2x\sqrt{2}, y\sqrt{2}) \) Para determinar a resposta correta, precisamos considerar que a rotação de \( \mathbf{u} \) e \( \mathbf{v} \) deve manter a relação entre eles. Após a rotação, o vetor \( \mathbf{v} \) deve ser proporcional ao vetor \( \mathbf{u} \) rotacionado. A opção que mantém essa relação e é consistente com a rotação é a D) \( \mathbf{v'} = (-2x\sqrt{2}, y\sqrt{2}) \). Portanto, a resposta correta é: D) \( \mathbf{v'} = (-2x\sqrt{2}, y\sqrt{2}) \).