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Cálculo Diferencial

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A parametrização de uma reta no espaço tridimensional é uma ferramenta importante para descrever todos os pontos que pertencem a essa reta usando um parâmetro escalar. A parametrização de uma reta é determinada por um ponto fixo na reta e um vetor que define sua direção. Utilizando um ponto e a direção da reta, a fórmula para a parametrização pode ser expressa na forma geral de uma função vetorial. Considere os pontos A = (−1, 2, 4) e B = (2, −1, 5). Com base na informação fornecida, sobre as possibilidades possíveis para a parametrização da reta no formato r(t) = P0 + vt, que passa por esses pontos, analise as afirmativas a seguir: I. r(t) = (−1, 2, 4) + t(3, −3, 1). II. r(t) = (−1, 2, 4) + t(3, 3, -1). III. r(t) = (2, −1, 5) + t(3, 3, -1). IV. r(t) = (2, −1, 5) + t(-3, 3, -1). É correto o que se afirma em:

A II e IV.
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Vamos analisar cada afirmativa para determinar a parametrização correta da reta que passa pelos pontos A = (−1, 2, 4) e B = (2, −1, 5). Primeiro, precisamos encontrar o vetor diretor da reta, que é dado pela diferença entre os pontos B e A: \[ \vec{v} = B - A = (2 - (-1), -1 - 2, 5 - 4) = (3, -3, 1). \] Agora, vamos analisar cada afirmativa: I. \( r(t) = (−1, 2, 4) + t(3, −3, 1) \). - Correto, pois usa o ponto A e o vetor diretor correto. II. \( r(t) = (−1, 2, 4) + t(3, 3, -1) \). - Incorreto, pois o vetor não é o vetor diretor correto. III. \( r(t) = (2, −1, 5) + t(3, 3, -1) \). - Incorreto, pois usa o ponto B, mas o vetor não é o vetor diretor correto. IV. \( r(t) = (2, −1, 5) + t(-3, 3, -1) \). - Incorreto, pois usa o ponto B, mas o vetor não é o vetor diretor correto. Portanto, a única afirmativa correta é a I. Assim, a alternativa correta é que apenas a afirmativa I está correta. A afirmação "A II e IV" não é correta, pois apenas a I é verdadeira.

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Imagine um rio descrito por um campo vetorial F(x, y) = (y², 0), em que o vetor F representa a velocidade da correnteza do rio em diferentes pontos. Note pela ilustração que esse rio possui uma profundidade de 6 metros, e para y = 0, temos o leito do rio. Além disso, a correnteza do rio varia dependendo da profundidade. Assim, conforme você vai mais fundo no rio, a velocidade da correnteza horizontal diminui. Dessa forma, baseado na função vetorial F e no rotacional deste campo vetorial, analise as afirmativas a seguir: I. A velocidade na direção vertical é zero, indicando que não há movimento da água para cima ou para baixo. II. O rotacional deste campo vetorial é conservativo. III. Para 2 metros abaixo da superfície, a rotacional apresenta o vetor (0, 0 , -4). IV. Caso algo fosse jogado neste rio, ele tenderia a rotacionar no sentido horário. É correto o que se afirma em:

A I e IV, apenas.
B II e IV, apenas.
C I, III e IV, apenas.
D I, II e III, apenas.
E I e III, apenas.

Sobre o exposto, analise as afirmativas a seguir: I. O divergente do gradiente de um campo escalar é chamado de Laplaciano. II. O rotacional de um campo vetorial é um campo escalar. III. O divergente de um campo vetorial é um escalar. IV. O gradiente de um campo escalar é um campo vetorial. É correto o que se afirma em:

A I, II e III, apenas.
B I, III e IV, apenas.
C I e III, apenas.
D III e IV, apenas.
E I, II e IV, apenas.

Considerando os conceitos de limite e continuidade em funções vetoriais, analise as afirmativas a seguir: I. O limite de uma função vetorial pode ser obtido calculando-se o limite de cada uma de suas componentes separadamente. II. Para que uma função vetorial seja contínua em um ponto, é suficiente que o limite da função naquele ponto exista. III. A continuidade de uma função vetorial em um ponto implica que a função é contínua em todos os pontos de seu domínio. IV. A continuidade de uma função vetorial em um ponto garante que o limite da função ao se aproximar desse ponto é o mesmo que o valor da função naquele ponto. É correto o que se afirma em:

A I, III e IV, apenas.
B II e III, apenas.
C I, II e III, apenas.
D I e IV, apenas.
E II e IV, apenas.

A respeito dos vetores tangente T(t) e normal N(t), são feitas as seguintes afirmacoes: I. O vetor tangente T(t) e o vetor normal N(t) são sempre perpendiculares entre si em qualquer ponto da curva. II. A magnitude do vetor normal N(t) não influencia a curvatura da curva. III. O vetor tangente T(t) pode ter magnitude variável ao longo da curva. IV. O vetor normal N(t) aponta em direção à curvatura da curva, sendo perpendicular ao vetor tangente T(t). É correto o que se afirma em:

A I, II e III, apenas.
B II e III, apenas.
C I, III e IV, apenas.
D II e IV, apenas.
E I e IV, apenas.

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