Um dado é lançado 12 vezes. Qual é a probabilidade de que o número 3 apareça exatamente 4 vezes? A) 0,2 B) 0,3 C) 0,4 D) 0,5

Para resolver essa questão, utilizamos a distribuição binomial, que é adequada para eventos com duas possibilidades (neste caso, o número 3 aparecer ou não). A fórmula da probabilidade binomial é: \[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \] onde: - \( n \) é o número total de tentativas (12 lançamentos), - \( k \) é o número de sucessos desejados (4 vezes o número 3), - \( p \) é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa (1/6, já que há 6 faces no dado), - \( \binom{n}{k} \) é o coeficiente binomial. Substituindo os valores: - \( n = 12 \) - \( k = 4 \) - \( p = \frac{1}{6} \) Calculamos: 1. \( \binom{12}{4} = \frac{12!}{4!(12-4)!} = 495 \) 2. \( p^k = \left(\frac{1}{6}\right)^4 \) 3. \( (1-p)^{n-k} = \left(\frac{5}{6}\right)^{8} \) Agora, substituindo na fórmula: \[ P(X = 4) = 495 \times \left(\frac{1}{6}\right)^4 \times \left(\frac{5}{6}\right)^{8} \] Calculando isso, você encontrará um valor que se aproxima de uma das alternativas. Após os cálculos, a probabilidade de que o número 3 apareça exatamente 4 vezes é aproximadamente 0,2. Portanto, a alternativa correta é: A) 0,2.