Encontre a integral definida de ∫_{1}^{e} (1 / (x ln(x))) dx.

Para resolver a integral definida \(\int_{1}^{e} \frac{1}{x \ln(x)} \, dx\), podemos usar a substituição \(u = \ln(x)\). Assim, temos: 1. Derivando, obtemos \(du = \frac{1}{x} \, dx\), ou seja, \(dx = x \, du = e^u \, du\). 2. Quando \(x = 1\), \(u = \ln(1) = 0\). 3. Quando \(x = e\), \(u = \ln(e) = 1\). Substituindo na integral, temos: \[ \int_{0}^{1} \frac{1}{u} \, du \] A integral de \(\frac{1}{u}\) é \(\ln|u|\). Portanto, avaliamos: \[ \left[ \ln|u| \right]_{0}^{1} = \ln(1) - \lim_{u \to 0^+} \ln(u) \] Sabemos que \(\ln(1) = 0\) e \(\lim_{u \to 0^+} \ln(u) = -\infty\). Assim, a integral diverge. Portanto, a integral \(\int_{1}^{e} \frac{1}{x \ln(x)} \, dx\) diverge.